Yaklaşık frekans momentlerini sınırlar

Let bir tamsayı dizisi olarak burada her bir j ∈ { 1 , 2 , ... , n } . İçin i ∈ { 1 , 2 , ... , n } , let m i = | { j : a j = i } | . K frekans inci moment olarak tanımlanır$a_1, a_2,\dotsc, a_m$$a_j \in \{1,2,\dotsc,n\}$$i \in \{1,2,\dotsc,n\}$$m_i = |\{j : a_j = i\}|$$k$

$\displaystyle F_k = \sum_{i=1}^n m_i^k.$

Tanınmış makalelerinde , frekans momentlerine yaklaşmanın uzay karmaşıklığı , Alon ve ark. kabaca O ( n 1 - 1 kullanarak yaklaşan bir akış algoritması verin$F_k$alanı. Ayrıca alt sınırΩ(n1-5)elde etmek için iletişim karmaşıklığı tekniklerini kullanırlar.$O(n^{1-\frac{1}{k}}(\log n + \log m))$içink>5. İçink=0,1,2, daha fazla ya da daha az, üst eşleşen ve alt sınır sağlar.$\Omega(n^{1-\frac{5}{k}})$$k > 5$$k = 0,1,2$

O zamandan beri bu sınırlarda iyileşmeler oldu mu ve için ilerleme oldu mu?$k = 3,4,5$

Oldukça fazla ilerleme oldu. spesifik probleminde, k > 2 için n 1 - 2 / k ile eşleşen bir üst ve alt sınır vardır . Üst sınırlar bu makaleden Indyk ve Woodruff tarafından (STOC 2005'te ortaya çıkmıştır) gelir ve alt sınırlar Bar-Yossef ve arkadaşları ve Chakrabarti ve ark .$F_k$$n^{1-2/k}$$k > 2$

K <= 2 için

1) k = 0, sınır http://people.seas.harvard.edu/~minilek/papers/f0.pdf adresinden .$O(1/\epsilon^2+log(n))$ .

2) k = 1, Alon et tarafından yazılan makalenin tamamı Morris tarafından ˜ O ( l o g ( l o g ( n ) ) alan kağıda referans verir. $\tilde{O}(log(log(n))$ alanı.

3) k = 2, kağıtlarından AMS taslağının en uygun olduğunu düşünüyorum

İlgili bir şey.

$F_\alpha$$\alpha$$\epsilon$$n$