Zayıf bir kömürge homomorfizması diye bir şey var mı?

Verilen bir endofunctor , herhangi bir polimorfik işlevler olarak gözlem fonksiyonlar tespit olduğu -coalgebra, için tanımlanan herhangi bir -coalgebra . Gözlem fonksiyonlarına bakmanın bir başka yolu, varsa nihai kömürünün fonksiyonlarıdır . Gözlem fonksiyonunu eşsiz homomorfizm ile nihai kömürüne oluşturarak polimorfizmi otomatik olarak elde ederiz. Ancak bu sadece nihai kömürü varsa işe yarar .K O B lar F ⟨ bir , C : A → F bir ⟩ O b s : ∀ ⟨ bir , C ⟩ . A → B F F $F : Set \rightarrow Set$$F$$obs$$F$$\langle A, c : A \rightarrow FA\rangle$

Bir gözlem fonksiyonunun belirleyici özelliklerinden biri, polimorfizminden ötürü sağda oluşan herhangi bir kömürge homomorfizmini iptal etmesidir. Eğer bir koalgebra homomorfizması ise, o zaman: Araştırmam sırasında, bir kömürgebra ile diğeri arasında gözlemsel tutarlılık kavramını tanımlamak amacıyla, zayıf bir kömürge homomorfizması fikrimi buldum . Fikir, gözlem işlevini önceden biliyorsak, bir kömür kömürü homomorfizmasını "taklit edebiliriz". Böylece tatmin edebiliriz, ama sadece belirli bir .F o b s = o b s ∘ h o m o b s = o b s ∘ h o m o b $hom$$F$

Örneğin, olsun ve olarak tanımlanmasına izin verin Yani , ilk iki öğeyi alır bir akıntı.O B ler o b s : ∀ ⟨ bir , C ⟩ . A → { 0 , 1 } 2 o b s = ⟨ ( π 1 ∘ c ) , ( π 1 ∘ c ∘ π 2 ∘ c ) ⟩ o b $FX = \{0,1\} \times X$$obs$

Daha sonra, bir F-kömürgebra homomorfizmasının, akışın tüm unsurlarını koruduğundan emin olması gerekirken, için zayıf bir homomorfizmanın sadece akışın ilk iki unsurunu koruması gerekir.$obs$

Araştırmamda, bu görüş, bir sonlu doğrusal gözlem fonksiyonunun birinci kömürgebradan ikinci kömürgebra kadar zayıf bir homomorfizmaya sahip olduğunu göstererek, bir kömürgebra'nın diğeriyle gözlemsel olarak tutarlı olduğunu göstermek için yararlı olacaktır. Başka bir deyişle, ilk kömürgebra üzerindeki her sonlu doğrusal gözlem ikinci kömürgebrada çoğaltılabilir.

( Doğrusal gözlem fonksiyonu ile kastettiğim çoğunlukla alakasız hissettiriyor, ancak paylaşma uğruna ... Doğrusal bir gözlem fonksiyonu, taşıyıcının her durumunu sadece bir kez kullanan bir az ya da çok. Bir kehanet modellemeye çalışıyorum, ve kullanıcının geri dönmesine ve hiçbir zaman bir soru sormadığını iddia etmesine izin verilmez.)

Sorularım şöyle:

1. Bu araştırıldı mı? Belki başka bir isim altında “zayıf kömürgebra homomorfizmaları” var mı?

2. Bunu sunmanın daha "kategori teorisi" yolu var mı?

Düzenleme : Bu kadar önemli olmayan iki soru kaldırıldı.

Açıkladığınız `` zayıf morfizmlerin '' biraz kısıtlı bir ortamda bir adı var. Açıklayacağım gibi, bunlar genel olarak tanımlanabilir.

Durumda (birçok doğal fanktorlar zayıf pullbacks koruyan do) olduğu bilinmektedir coalgebraic bisimilarity ile davranışsal denklik denk geliyor. Sonra morfizmleriniz fonksiyonel adım bisimülasyonları olarak bilinir, burada bir ordinaldir. Kuşkusuz onları sadece ordinal için tanımlanmış olarak gördüm . Kömürden önce, modal mantıkçılar Kripke çerçeveleri için n-aşamalı bisimülasyonları incelemişlerdi; İlişkilerin aksine işlev görmeleri gereksiniminiz onları n-aşamalı bisimülasyonları işlevsel kılar.S e t α α α ≤ $T : \mathsf{Set} \to \mathsf{Set}$$\mathsf{Set}$$\alpha$$\alpha$$\alpha \leq \omega$

Öte yandan, bahsettiğiniz kavramı, çok daha genel bir ortamda, kömürge bimülasyonlarına başvurmadan tanımlayabilirsiniz. Herhangi bir kategori için sıra endeksli cochains sınırlarını ve herhangi bir funktor sahip bir tanımlayabilir 'in terminal sekansı . Sınırlarla ilgili koşul aslında oldukça zayıftır, örneğin birçok kategori ( ) aslında eksiksizdir, yani tüm küçük sınırlara sahiptir. Terminal dizisi içindeki bir diyagramdır ve şöyle görünür: T : C → C T S e t $\mathbb{C}$$T : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$$T$$\mathsf{Set}$$\mathbb{C}$

$1 \quad \xleftarrow{!_{T1}} \quad T1 \quad \xleftarrow{T !_{T1}} \quad T^2 1 \quad \xleftarrow{T^2 !_{T1}} \quad \dots \quad T^\omega 1 \quad \xleftarrow{f_\omega^{\omega + 1}} \quad T(T^\omega 1) \quad \xleftarrow{Tf_\omega^{\omega + 1}} \quad \dots$

$1$$\mathbb{C}$$\mathsf{Set}$$1 = \{*\}$$!_{T1} : T1 \to 1$$\mathsf{Set}$$T1$$*$$T^n 1$$T$$T^\omega 1$$\omega$$T^\alpha 1$$\alpha$

$T$$(Z,\gamma)$$\mathbb{C}$$\mathsf{beh}_\gamma^\alpha : Z \to T^\alpha 1$$\alpha$$\alpha < \omega$

$\mathsf{beh}_\gamma^0 : Z \to 1$

$\mathsf{beh}_\gamma^{n+1} = T\mathsf{beh}_\gamma^n \circ \gamma : Z \to T^{n+1} 1$

$Z$$\alpha$$T$$(A,\gamma)$$(B,\delta)$$\mathbb{C}$$f : A \to B$$\alpha$

$\mathsf{beh}_\delta^\alpha \circ f = \mathsf{beh}_\gamma^\alpha$

$\alpha$$f(z)$$\delta$$\alpha$$z$$\gamma$

Neyse, umarım bu yardımcı olur. 'Terminal sekansı kömürgebra' veya 'son sekans kömürgebra' yı arayarak çeşitli referanslar bulabilirsiniz.

Kural olarak, eğer kavram bir evrenselliğe sahip değilse, zayıf, düzenli, normal, vb. Gibi aşırı yüklenmiş terminolojiden kaçınmalıdır. Özellikle, fikrinizin ok çevirme işleminden sonra olağan zayıf homomorfizma kavramıyla uyuşmadığı anlaşılmaktadır .

Belki de daha az evrensel bir şey yaptığınızda, "gözlemsel olarak zayıflamış homomorfizm" gibi "ow-homomorfizm" e kısaltılmış her zaman daha açıklayıcı terimler vardır.

Gözlem fonksiyonunuz zaten bir kategori teorik sunumu sağlar. Mümkün olan en genelliği aramak yerine, tam olarak ne anlama geldiğini ve neden ilginç olduğunu açıklamaktan daha fazla endişe ediyorum. Özellikle, baskıda olağandışı kavramları tanıtırken genellikle bilgilendirici bir örnek ve örnek olmayan bir örnek vermelisiniz.