Rasgele Kübik Grafiklerin Genliği

Bağlı düşünün rastgele küp grafiği $G=(V,E)$ ve reg $n =|V|$ den çizilen köşeler ( burada tanımlandığı gibi , yani eşittir ve herhangi iki grafik aynı olasılığa sahiptir). $G(n, 3$ $)$ $3n$

Tabii ki orada $n$ mümkün Genişlik İlk aramalar, her başlangıç düğümün için bir $s \in V$ . Bir enine arama $B_G$ düğümün başlayan $s \in V$ atar bir seviye $d(s, v)$ her bir düğüm için $v \in V$ , $d(s, v)$ arasındaki mesafedir $s$ ve $v$ de $G$ .

$B_G$

L (s, {u, v}) = max {d (s, u), d (s, v)}

$L(s, \{u,v\}) = \max\{ d(s,u), d(s,v) \}$

e = {u, v} \in E

$e=\{u,v\} \in E$

Belirli bir Genişlik İlk Arama , düzey atanmış kenar sayısı olsun ve . Başka bir deyişle , herhangi bir düzeyden daha fazla kenar içeren düzeyin kenar sayısıdır. Son olarak, izin maksimum herhangi biri için ve Genişlik ilk aramalar . $B_G$ $\alpha(B_G,i)$ $i$ $\alpha(B_G) = max_i\{\alpha(B_G,i)\}$ $\alpha(B_G)$ $\alpha(G)$ $\alpha(B_G)$ $n$ $G$

Bize diyelim genliği arasında . $\alpha(G)$ $G$

Soru

Nasıl tahmin değeri olarak büyür sonsuza eğilimi? Hatırlanacağı olan kübik rastgele . Daha doğrusu, gerçekten bilmek istediğim , nin beklenen değerinin ait olup olmadığıdır . $\alpha(G)$ $n$ $G$ $\alpha(G)$ $o(n)$

Yana bile olduğunu sınırı Garip umurumda değil ki kabul edilir 'in. $n$ $n$

graph-theory co.combinatorics

— Giorgio Camerani
kaynak

(1) Lütfen kübik grafiğinizi hangi olasılık dağılımından çizdiğinizi belirtin. (2) bir fonksiyonu olarak beklentisiyle veya başka bir şeyle ilgileniyor musunuz ? (3) Sanırım eşittir (aksi halde kübik bir grafik mevcut değildir). Yani, sınır tuhaf umursamıyorum böylece kabul edilir varsayalım 's.

α (G)

$\alpha(G)$

n

$n$

n

$n$

n

$n$

— Yoshio Okamoto

@YoshioOkamoto: (1) stanford.edu/class/msande337/notes/… ' de tanımlandığı gibi -reg ( eşittir ve herhangi iki grafik aynı olasılığa sahiptir). (2) Bu noktayı açıklığa kavuşturmak için soruyu zenginleştirdim. (3) Evet, bile, ancak sınır Garip umurumda değil ki kabul edilir 's.

G (n, 3

$G(n, 3$

)

$)$

3 n

$3n$

n

$n$

n

$n$

— Giorgio Camerani

@SureshVenkat: Sorunun okunabilirliğini geliştirdiğiniz için teşekkürler ;-)

— Giorgio Camerani

Rastgele kübik grafiklerde için konsantrasyon sonuçlarının olması muhtemel olduğunu söyleyeyim, bu da beklenen değerin, yüksek olasılık değerinin vb. Aynı olduğu anlamına gelir. OP netleşmedikçe, bu soruların herhangi birinin cevabının bu soru için makul bir cevap olacağını düşünüyorum.

α (G)

$\alpha(G)$

— Peter Shor

@WalterBishop: Bir soru daha sormama izin verin. bağlantısı kesilirse nasıl tanımlanır ?

α (G)

$\alpha(G)$

G

$G$

— Yoshio Okamoto

Yanıtlar:

Genişletici grafikler için genlik . Rastgele bir 3-Düzenli grafik asimptotik neredeyse kesinlikle bir genişletici grafiktir (Wikipedia bakınız) genlik beklenti olacak, böylece bir genişletici grafiği olmadığını olasılık gider beri, olarak gider . $\alpha(n) = \Theta(n)$ $\Theta(n)$ $0$ $n$ $\infty$

Parametresi ile bir genişletici grafik için herhangi bir set için, noktalar ile , vardır kümesinin komşuları. Şimdi, seviye üzerinde köşe sayısı izin olmak ile, . Daha sonra, genişleme özelliğinden çok büyük olmadığı sürece (yani, henüz köşelerin yarısını dahil ) Şimdi, tepe noktasını içeren seviyesini . Yani, ve $\beta$ $s$ $s \leq n/2$ $\beta s$ $j$ $\ell_j$ $\ell_0=1$ $j$

ℓ_{j} \geq β \sum_{i = 0}^{j - 1} ℓ_{i}

$\ell_j \geq \beta\, \sum_{i=0}^{j-1} \ell_{i}$

ℓ_{j}

$\ell_j$

\frac{n}{3}

$\frac{n}{3}$

\sum_{i = 0}^{j - 1} ℓ_{i} < n / 3

$\sum_{i=0}^{j-1} \ell_i < n/3$

\sum_{i = 0}^{j} ℓ_{i} \geq n / 3

$\sum_{i=0}^{j} \ell_i \geq n/3$ . Bu seviye büyükse, yani , işimiz bitmiştir. Aksi takdirde, bir sonraki seviyenin boyutu ve İşimiz bitti.

ℓ_{j} \geq n / 6

$\ell_j \geq n/6$

ℓ_{j + 1} \geq β \sum_{i = 0}^{j} ℓ_{i} \geq β \frac{n}{3},

$\ell_{j+1} \geq \beta \, \sum_{i=0}^{j} \ell_{i} \geq \beta \frac{n}{3},$

Bir seviyede yerine (OP hakkında sorulan) kenarları sayısındaki nokta sayısı bu kanıtı görünüyor, her zaman Varken birçok kenarları aşamasında eklenen en azından olarak düzeyinde köşeler olarak her köşe varılması gerektiğini beri, bir kenar tarafından. $i$ $i$

— Peter Shor
kaynak

Cevabınız için teşekkürler! Bu çok şaşırtıcı (en azından benim için): toplam kenar sayısı ve düzey sayısı , en çok kalabalık seviyenin kenarları hala . Böylece kenarlar seviyeler arasında eşit olarak dağılmamıştır: (ampirik, yanlış) sezgim, birkaç başlangıç seviyesi ve birkaç son seviye hariç , kenarların arasında olacağı merkezi seviyelerin olması gerektiğiydi. bir şekilde eşit dağılmış.

m = 1.5 \cdot n \in Θ (n)

$m = 1.5 \cdot n \in \Theta(n)$

Ω (l o g (n))

$\Omega(log(n))$

Θ (n)

$\Theta(n)$

Ω (l o g (n))

$\Omega(log(n))$

— Giorgio Camerani

"ampirik" ile gerçekten testler yürüttüğünüz anlamına mı geliyor? kübik rastgele grafikler için yaklaşık , bkz. ftp-sop.inria.fr/mascotte/personnel/Stephane.Perennes/Bol88.pdf

β

$\beta$

0.1845

$0.1845$

— 14'te

Evet kadar testler ve miktarını ölçtüm . Eğer , arttıkça yaklaşırsa , bu ' ye ilişkin ampirik kanıtlar verirdi . Yaklaşık , ilgiliydi civarında iken, , ilgiliydi (çünkü Tabii ki, ampirik kanıt olarak bu sayıları kabul ettik ve hala bir asimptotik temsil etmek çok küçük). Ancak "ampirik sezgi" dediğimde

n = 100

$n = 100$

n = 150000

$n = 150000$

k = \frac{α (G)}{m}

$k = \frac{\alpha(G)}{m}$

k

$k$

0

$0$

n

$n$

α (G) \in o (n)

$\alpha(G) \in o(n)$

n = 100

$n=100$

k

$k$

0.3

$0.3$

n = 150000

$n=150000$

k

$k$

0.26

$0.26$

n = 150000

$n = 150000$

— Giorgio Camerani

... Testlerin sonucundan ziyade gerçek (yanlış) bir his demek istedim: Bu BFS'nin bir "sosis" şekline sahip olması gerektiğini hissettim (yani uçlarda küçük ve ortada sürekli gıdıklama). "Onlar böyle olmalı" diye düşündüm. Yukarıdaki kanıtlar sezgilerimin ne kadar yanlış olduğunu gösteriyor. Bununla birlikte, hala sürpriz ediyorum:

kenarları,

seviyeleri, ama değil

Θ (n)

$\Theta(n)$

Ω (l o g (n))

$\Omega(log(n))$

Her düzeyde

kenarlar.

O (\frac{n}{l o g (n)})

$O(\frac{n}{log(n)})$

— Giorgio Camerani

Peter Shor'un yanıtı gerçekten iyi, ama buna cevap vermenin başka bir yolu daha var: trewidth'in genliğin iki katı (tepe versiyonu) ile üst sınırda olduğunu kanıtlamak. Biz bu yana biliyoruz 3-Düzenli genişleticiler doğrusal treewidth olduğuna göre yapılır.

BFS ağacı verilen bir ağaç ayrışmasının yapısına bakın, bu sunumun 15. slaydı: http://www.liafa.jussieu.fr/~pierref/ALADDIN/MEETING2/soto.pdf

Her torbanın boyutunun en geniş seviyenin iki katı kadar üst sınırda olduğunu görmek kolaydır.

— didest
kaynak

Cevabınız için teşekkürler, bu sunum çok yardımcı oldu.

— Giorgio Camerani