Süper Sicimi Tam Olarak Çözme

En kısa süper sicim sorununun karmaşıklığı hakkında bilinenler nelerdir? daha hızlı çözülebilir $O^*(2^n)$mi? TSP'ye indirgenmeden en kısa süper sicimi çözen bilinen algoritmalar var mı?

UPD: polinom faktörlerini bastırır.$O^*(\cdot)$

En kısa superstring problemi, cevabı belirli bir dizeden her dizeyi içeren en kısa dize olan bir sorundur. Soru, ünlü NP-hard problemi Shortest Superstring'in optimizasyonunun genişletilmesiyle ilgilidir (Garey ve Johnson, s.228).

Dizelerin cinsinden uzunluk polinomu olduğunu varsayarsak, evet, en az 2 n - Ω ( $n$zaman çözümü. Bunun nedeni, en kısa ortak süper sicim probleminden polinom boyutlu tamsayı ağırlıkları ile ATSP'ye iyi bilinen bir azalmadır; bu da, yönlendirilmiş bir çok satırda Hamilton döngülerini sayabiliyorsanız polinom enterpolasyonu ile çözebilirsiniz. İkinci problem2n-Ω($2^{n-\Omega(\sqrt{n/\log n})}$zaman çözümü. Björklund 2012$2^{n-\Omega(\sqrt{n/\log n})}$

Ağırlıkları ile ATSP redüksiyon köşelerin her çifti için u , v , aşağıdaki gibi Hamilton döngü sayımı gider:$w_{uv}$$u,v$

İçin , ağırlık toplamı , bir üst her toplamları bağlanmış olan n ATSP örneği ağırlıkları, yapı bir grafiktir G r , her bir ağırlık yerine ağırlık u v ile r w u v arasından arkları u için v .$r=1,2,\cdots,w_\mbox{sum}$$w_\mbox{sum}$$n$$G_r$$w_{uv}$$r^{w_{uv}}$$u$$v$

Her biri için Hamilton döngü sayımı çözerek , polinom interpolasyon ile bir polinom gerçekleştirebilmesi Σ ağırlık toplamı l = 0 , bir l r l ile bir l ağırlığı orijinal grafikte TSP turlar sayısına eşit l . Bu nedenle, en küçük l'i , bir l sıfırdan farklı olacak şekilde bulmak sorunu çözer.$G_r$$\sum_{l=0}^{w_\mbox{sum}} a_lr^l$$a_l$$l$$l$$a_l$

Sorunu inceledim ve bazı sonuçlar buldum. En kısa ortak Superstring (SCS) zaman içinde çözülebilir sadece polinom boşluk ile ( Kohn, Gottlieb, Kohn , Karp , Bax, Franklin ).$2^n$

En iyi bilinen yaklaşım (Paluch).$2\frac{11}{30}$

En iyi bilinen sıkıştırma yaklaşımı (Paluch).$3\over4$

SCS , ikili alfabe üzerinde bir faktör ile yaklaşıklanabilirse, herhangi bir alfabe ( Vassilevska-Williams ) üzerinde bir faktör α ile yaklaşık olarak tahmin edilebilir .$\alpha$$\alpha$

P = NP ( Karpinski, Schmied ) olmadığı sürece SCS, daha iyi bir oran ile yaklaşık olarak tahmin edilemez .$1.0029$

Maksimal Sıkıştırma, daha iyi bir oranla yaklaşılamaz P = NP (Karpinski, Schmied)olmadığı sürece 1.0048'den edilemez .$1.0048$

Herhangi bir ekleme ve öneri için minnettar olurum.

İşte kısa süperdizgi problem: Size verilen dizeleri s 1 , ... , s , n bazı alfabe üzerinde Σ baştan kısa dize bulmak istiyorum ve Σ her içeriyor s $n$$s_1,\ldots, s_n$$\Sigma$$\Sigma$$s_i$ yani bir alt dize ardışık karakterlerin bir alt diziyle olarak.

Sorunun kesin algoritmaları hakkında konuştuğumuzda , en kısa süper sicimin uzunluğunu bulmak , nihai sicimdeki tüm ardışık dize çakışmaları toplamı olan maksimum sıkıştırma C'yi bulmaya eşdeğerdir , yani C = ∑ i | s i | - L .$L$$C$$C=\sum_i |s_i|-L$

Bildiğim kadarıyla, en kısa süper sicim için en hızlı tam algoritma ( 2 n ) 'de çalışır, burada n dizelerin sayısıdır. Bu, en uzun yol (ve diğer sorunlar) için dinamik programlama algoritmasına benzer basit bir dinamik programlama algoritmasıdır:$O^*$$2^n$$n$

Her dizeleri alt kümesi için ve dize v içinde S biz her yerinden süpersicimlerin üzerinde maksimum sıkıştırma hesaplamak S nerede v ilk dize ((, süperdizgi görünen C olarak saklamak olduğunu v , s )). Biz ilk tek elemanlı tüm alt kümelerini işleme ve sonra C kadar bina gerçekleştirirsiniz (( v , s )) alt kümeleri için değerler S üzerinde k üzerinde olanlardan dizeleri k - 1 dizeleri. özellikle:$S$$v$$S$$S$$v$$v,S$$v,S$$S$$k$$k-1$

Her dize için hepimizin alt kümeleri bakmak S ' ile ilgili k - 1 do not dahil dizeleri u ve (değerini ayarlamak u , u ∪ S ' dizeleri üzerinde maksimum) v içinde S ' maksimum toplamının u'nun v ile C ile örtüşmesi (( v , S ′ )).$u$$S'$$k-1$$u$$u,{u}\cup S'$$v$$S'$$u$$v$$v,S'$

Son çalışma zamanı O'dan ( ) fazla değildir, burada l maksimum dize uzunluğudur.$n^2 2^n + n^2 l$$l$

nin küçük olduğunu veya çift üst üste binmelerin küçük olduğunu, alfabe boyutunun küçük olduğunu varsayarsanız daha iyi algoritmalar vardır , ancak 2 n'den daha hızlı olan herhangi bir algoritmanın farkında değilim .$l$$2^n$