Bir alt küme arama algoritması

9

Bir listem var $\cal X$ alt kümelerinin $\{1, ..., n\}$ . Gerekirse bu listede önişleme yapabilirim. Bu ön işlemden sonra, başka bir setle karşılaştım $A \subseteq \{1, ..., n \}$ . Herhangi bir set tanımlamak istiyorum $B \in \mathcal X$ ile $B \subseteq A$ .

Açık algoritma (önişleme olmadan) zaman alır $O(n |\cal X|)$ - basitçe test edersin $A$ her birine karşı $B \in \mathcal X$ ayrı ayrı. Bundan daha iyi bir şey var mı?

Eğer yardımcı olursa, herhangi biri için $A$ , toplam eşleşme sayısı $B \in \mathcal X$ gibi bir şeyle sınırlıdır $O(1)$ .

ds.algorithms ds.data-structures

— David Harris
kaynak

3

Bu bir cevap değil. Basit ama uzun bir gözlemdir. Umarım faydalı olur.

Sorununuzun karar sürümü: $\cal X$ bir altkümesi içermeli $A$ ?

Bu sorun, monoton boole fonksiyonlarının değerlendirilmesi sorunuyla ilgilidir. $n$ değişkenler. Altkümesi $\{1,\ldots,n\}$ eşittir bir $n$ -bitstring, yani aile $\cal X$ boole işlevine eşdeğerdir $f$ nın-nin $n$ değişkenler. Bir işlev verildi $f$ , daha büyük olmayan en küçük monoton işlev tanımlanabilir $f$ , yani $g(y)=(\exists x\subseteq y,\,f(x))$ . Orijinal problem daha sonra değerlendirmeye indirgenir. $g(A)$ . Tersine, monoton bir boolean fonksiyonunun değerlendirilmesi sorunu, orijinal olarak, $f=g$ veya bir $f$ bu yapar $\cal X$ Daha küçük.

Pratikte BDD'ler iyi çalışma eğilimindedir. Bu yüzden olası bir yaklaşım BDD'yi $f$ , BDD için türetmek $g$ ve ardından değerlendir $g$ . İçin ortalama BDD boyutu $g$ olmalıdır $\Omega\left(\binom{n}{n/2}\right)$ , çünkü birçok monoton boolean işlevi vardır . Bu nedenle, teoride bu kötü bir çözümdür.

Ancak (1) daha iyi bir analiz mümkün olabilir ve (2) bu yaklaşımı daha iyi hale getiren ince ayarlar olabilir. Örneğin, boyutu ile BDD'si arasındaki ilişkiyi hiçbir şekilde kullanmadım . (Bir korelasyon olmalı, ama burada basit mi yoksa kullanışlı mı bilmiyorum.) $\cal X$ $g$

Tamlık için için BDD'den için BDD'yi hesaplamak için basit bir algoritma şöyledir. Burada standart veya işlemdir. $g$ $f$

m (x ? f_{1} : f_{0}) = x ? (m (f_{0}) \lor m (f_{1})) : m (f_{0})

$m(x?f_1:f_0)=x?(m(f_0)\lor m(f_1)):m(f_0)$

\lor

$\lor$

— Radu GRIGaha fazla
kaynak

2

Bu, her bir alt kümesinin cevabını önceden hesaplamaya eşdeğer değil mi?

{1, 2, . . ., n}

$\{1,2,...,n\}$ , tüm sonuçları ikili bir ağaçta önbelleğe alma

2^{n}

$2^n$ ve sonra doğru sonucu (zamanında

O (n)

$O(n)$ ) verildiğinde

A

$A$ ?

— mjqxxxx

Önceden işlenmiş verileri saklamak için üstel alan kullanmak, hile gibi geliyor, ancak soruda yasaklanmamıştır. Ama En Kötü Durum Karmaşıklığı Kilisesi'ne karşı önyargılı olabilirim.

— Tsuyoshi Ito

mjqxxxx ve Tsuyoshi: İkinize de katılıyorum. Metni yeniden yazdım ki umarım katılıyorum daha açıktır. :)

— Radu GRIG5

3

Belki bir "bilgi alma" tekniği kullanabilirsiniz: önişleme aşamasında, ters bir dizin oluşturun (sizin durumunuzda basit bir $n \times | {\cal X}|$ bidimensional dizi yeterlidir) bir öğeyi eşler $x_i \in \{1,...,n\}$ setlere $\cal X$ içeren: $inv(x_i)= \{ X_j \in {\cal X} \; | \; x_i \in X_j \}$ .

Bir tamsayı dizisi ayarlama $occ$ uzunluk $|\cal X|$ .

Sonra her biri için $y_i \in A$ geri almak $inv(y_i)$ ve her biri için $X_j \in inv(y_i)$ yapmak $occ[j] = occ[j]+1$

Sonunda ihtiyacınız olan setler $|X_j|=occ[j]$ .

İki veya daha fazla öğeyi birlikte endeksleyerek işlemi (üstel alan pahasına) keyfi olarak hızlandırabilirsiniz.

— Marzio De Biasi
kaynak