Bir satranç tahtasında mükemmel eşleşmeler?

Bir satranç tahtasına yerleştirilebilecek maksimum şövalye sayısını, ikisi birbirlerine saldırmadan bulma sorununu düşünün. Cevap 32: mükemmel bir eşleşme bulmak çok zor değil (şövalye hareketlerinin neden olduğu grafik iki taraflı ve 4 × 4 tahta için mükemmel bir eşleşme var), ki bu da minimum bir kenar kapağı. Cevabın n m n olduğunu kanıtlamak da zor değilbir içinmxnsatranç tahtası herm,n,≥3: bu için eşleştirmeler göstermeye yeterli3≤m,n,≤6ve indüksiyon ayak biraz yapmak.$\left\lceil \frac{mn}{2} \right\rceil$$m \times n$$m,n \geq 3$$3 \leq m,n \leq 6$

Öte yandan, satranç tahtası toroidal olsaydı ve bile olsaydı, kanıt küçük tahtalar için bir eşleşme göstermeyi bile gerektirmezdi: harita ( x , y ) → ( x + 1 , y + 2 ) sadece eşit uzunlukta döngüler, böylece mükemmel bir eşleşme olmalıdır.$m, n$$(x, y) \rightarrow (x+1, y+2)$

Dikdörtgen satranç tahtaları için herhangi bir eşdeğer var mı , yani yeterince büyük her zaman satranç tahtasının mükemmel eşleşmesinin olduğunu göstermenin daha basit bir yolu var mı? Büyük tahtalar için, dikdörtgen levha ve toroidal tahta, eksik kenarların oranının sıfıra gitmesi anlamında neredeyse eşdeğerdir, ancak bu durumda mükemmel bir eşleşmeyi garanti edecek herhangi bir teorik sonucun farkında değilim.$m, n$

Ya her iki yönde zıplamak yerine $(1, 2)$, bir şövalye her iki yönde zıpladıysa $(2, 3)$ ? Ya da, bu konuda, p + q tek ve p , q ile birlikte $(p, q)$ kareler ? Orada ise ise kanıtlayan basit bir yolu cevabı olduğunu ⌈ m n$p+q$$p, q$$\left\lceil \frac{mn}{2} \right\rceil$yeterince büyük$m, n$(örneğin,$m, n \geq C(p, q)$) için$C(p, q)$neye benziyor?

$\lceil \frac{mn}2\rceil$$m, n$$p=6$$q=3$m = n = 100 x + $\mod 3$$m=n=100$1 , 1 , $x+y \mod 6$$1,1,2$

ve göreli asal olması koşulunu eklersek ne olacağını bilmiyorum . (2 bölen dışında bunun ve göreceli primler olduğuna eşdeğer olduğunu , aslında bu ihtiyacımız olan ve tek olması gerektiğini gösteren durum olduğunu unutmayın .)q p + q p - q p + $p$$q$$p+q$$p-q$$p+q$