Naif küme teorisine dayalı tip sistemi

Anladığım kadarıyla, bilgisayar bilimlerinde veri türleri, Russell'ın paradoksu gibi şeyler nedeniyle küme teorisine dayanmaz, ancak gerçek dünya programlama dillerinde olduğu gibi, "kendini içermeyen küme" gibi karmaşık veri türlerini ifade edemeyiz, uygulama türünün, örnek üyeliğinin bu tür / kümeye özgü özellik sayısıyla (belirli özelliklerin, yöntemlerin varlığı) tanımlandığı sonsuz bir üye kümesi olduğunu söyleyebilir misiniz? Hayır ise karşı örnek ne olurdu?

Türlerin anlambiliminde kümelerden kaçınmanın temel nedeni, tipik bir programlama dilinin keyfi yinelemeli işlevleri tanımlamamıza izin vermesidir. Bu nedenle, bir türün anlamı ne olursa olsun, sabit nokta özelliğine sahip olması gerekir. Böyle bir özelliğe sahip olan tek set, tekli settir.

$v$$\tau$$\tau$$v = \Phi(v)$$\Phi : \tau \to \tau$$\tau$$T$$f : T \to T$$T$

Elbette suçlunun klasik mantık olduğunu da anlayabilirsiniz. Sezgisel küme teorisi ile çalışıyorsanız, sabit nokta özelliğine sahip birçok kümenin olduğunu varsaymak tutarlıdır. Aslında, bu programlama dilinin anlambilimi için kullanılmıştır, örneğin bakınız

Alex Simpson, Sezgisel Küme Teorisi Modellerinde Özyinelemeli Tipler İçin Hesaplamalı Yeterlilik , Saf ve Uygulamalı Mantık Yıllarında, 130: 207-275, 2004.

$\pi$

Birkaç istisna dışında (Dave Clarke'ın belirttiği gibi), basit set-teorik tür semantiklerinin kullanımı zordur. Bunun nedeni, veri soyutlamanın küme teorik anlambilimiyle çok iyi oynamamasıdır.

$\forall \alpha.\; \alpha \to \alpha$$U$

$U$$U$$X \to X$$X \in U$$\alpha$

$\forall \alpha.\; \alpha \to \alpha$