Sıralanan listenin yaklaşık toplamı

Son zamanlarda, sıralı negatif olmayan sayılar listesinin yaklaşık toplamını hesaplamak için problem üzerinde çalıştım. Herhangi bir sabit , zaman yaklaşma şeması toplam için bir -aproximation verecek şekilde türetilmiştir . Makale, sonuçlandırılmamış http://arxiv.org/abs/1112.0520 adresinde yayınlanmıştır . $\epsilon>0$ $O(\log n)$ $(1+\epsilon)$

Bu problem için mevcut çalışmaları araştırıyordum, ancak sadece uzaktan ilgili birkaç makale aldım ve alıntı yaptım. Bu sorun daha önce çalışılmış mıydı? Birisi bu sorunla ilgili mevcut araştırmaları biliyorsa, lütfen bana bildirin. Yardımı takdir edip alıntıları buna göre güncelleyeceğim. Sonuçlar eskiyse, kağıt bir çöp kutusuna atılır.

ds.algorithms reference-request

— Bin Fu
kaynak

Gazeteyi paylaştığın için teşekkürler! Lütfen sıralanan listeler için yaklaşık toplam problemini incelemeye neden özen gösterelim? Bir listenin sıralandığını varsaymak oldukça güçlü bir varsayımdır.

— Dai Le

@DaiLe: Muhtemelen varsayım, soruna bir miktar yapı ekler; Sıralanmamış bir listenin yaklaşık toplamını bulmaya çalışmak kesinlikle anlaşılmaz bir durumdur çünkü liste hakkında incelediğiniz belirli numaralar dışında kesinlikle hiçbir bilginiz yoktur.

— Steven Stadnicki

@Bin: Tümüyle pozitif olmayan durumdaki toplamın yaklaştırılması üzerindeki alt sınır, sıfıra yaklaşmanın iyi bir yolunun olmadığı 'yakalamadan' gelir; Açıkçası, bu standart yaklaşım şemasıdır, ancak burada, sonuçta ortaya çıkan toplamın büyüklüğünden ziyade en büyük bileşenin büyüklüğü bakımından hatayı ölçmek daha iyi görünecektir; bu sadece sonuçları önemsiz hale getiriyor mu?

— Steven Stadnicki

Matematikte, f (n) 'in bir fonksiyon olduğu f (1) + f (2) +… + f (n) gibi toplamları hesaplamak için sıklıkla formüller görüyoruz. Pek çok fonksiyon monotoniktir. Örneğin, f (n) = n ^ k (log n). Monotonik işlevler için bu tür toplamları hesaplamanın etkin bir yolu olup olmadığını sormak doğaldır f (.). Bu makaleyi yazdığımda, zaten bilinen bir şeyi yapmakla zaman kaybetmemin endişesi vardı. Bu yüzden birçok profesyonel insan burada olduğundan ilgili referansları almak için bu web sitesine geldim. Yorumlarınız için teşekkürler. Bin Fu

— Bin Fu

@Bin Fu: Cevabınız için teşekkürler. Varsayım mantıklı!

— Dai Le

Yanıtlar:

Bu sorun, daha genel sorunların çoğunlukla ele alındığı aşağıdaki yazıda çözülmüştür: http://valis.cs.uiuc.edu/~sariel/papers/06/integrate/ .

— Sariel Har-Peled
kaynak

Har-Peled'in özlü kağıdının ispat ayrıntılarını okuduktan sonra , şimdi yönteminin sıralı olumsuz olmayan sayıların yaklaşık toplamı için bir O (log n) zaman algoritması gerektirdiğini anlıyorum. Çekirdek sıralı listede bir sayı alt kümesi tarafından oluşturulur ve konumları yalnızca n büyüklüğüne ve yaklaşık oran epsilon'a göre değişir. Çekirdekteki tüm noktaların ağırlıkları, O (log n) zamanda hesaplanabilir. Bu nedenle, makalede açıkça iddia edilmese de, sıralanan bir listenin yaklaşık toplamı için bir O (log n) zaman algoritması getirir. Algoritma Har-Peled'in makalesinin iddia edilen teoremleri yerine göbek yapısının ispatlanmasında saklı olduğundan, makaledeki sonuçları kontrol ettikten hemen sonra böyle bir sonuç görmedim.

Makalemi, O (log n) zaman algoritması içeren 4. bölümü silerek revize ettim. Har-Peled'in makalesi güncellenmiş versiyonda gösterilmektedir. İlk algoritma, O (log n) zamanı ile kıyaslanamaz bir karmaşıklığa sahip olduğundan hala korunur. Örneğin, sıralanan giriş listesindeki sayılar 0 - (log n) ^ {O (1)} aralığında olduğunda O (log log n) zamanında çalışır. Algoritma, çekirdek yapısından büyük ölçüde farklı olan ikinci dereceden bölge araştırmasına dayanır. Zamanın altındaki sınırlar da korunur, ancak biraz revize edilir.

Şimdi bu çizgideki çalışmalar hakkında daha iyi bir fikrim var. Mükemmel bir geri bildirim sağlayan bu web sitesindeki teorik bilgisayar bilimi meslektaşlarının profesyonel yardımlarını gerçekten takdir ediyorum. Gözden geçirilmiş makalem birkaç gün içinde aynı arşiv sitesinde yayınlanacak. Kaçırılabilecek ilgili referanslar hakkında daha fazla yorum içtenlikle hoş geldiniz.

Bin Fu

— Bin Fu
kaynak

Ahem. Har-Peled'in on çekirdeğindeki kağıtlardan hangisini kastediyorsunuz? Ayrıca çekirdek (iki e ile) korse ile aynı değildir (bir e ile). Biri rasgele örnekleme kullanıyor; diğer balina kemikleri kullanır.

— Jeffε

@ Jɛ ﬀ E: Sariel'in cevabında belirtilen yazıyı kastettiğini düşünüyorum.

— Tsuyoshi Ito

Belki, ama yorumumu yayınladığımda, bu cevap sayfada Sariel'inkilerden daha yüksekti. Bir link ekledim.

— Jeffε

Güncel sürümüm artık arxiv.org/abs/1112.0520 adresinde bulunmaktadır .

— Bin Fu

-3

$\mathcal{O}(\log n)$ $\mathcal{O}(\log n)$

$\varepsilon > 0$ $0\leq a_1 \leq a_2 \leq \dots \leq a_n$

$\qquad a_n, \frac{a_n}{1+\varepsilon}, \frac{a_n}{(1+\varepsilon)^2}, \dots , \frac{a_n}{(1+\varepsilon)^k}$

$k \in \mathcal{O}\left(\frac{\log n}{\varepsilon}\right)$

$\mathcal{O}(\log n)$ $\mathcal{O}(\log n)$ $\mathcal{O}(\log n)$

$\mathcal{O}(\log n)$ $a_n \cdot (1+\varepsilon)^{-j}$ $a_n \cdot (1+\varepsilon)^{-j}$ $a_n \cdot (1+\varepsilon)^{-(j+1)}$ $\mathcal{O}((\log n)^2)$

— Bin Fu
kaynak

Har- Peled'in on çekirdeğindeki kağıtlardan hangisini kastediyorsunuz? Ayrıca, çekirdek ≠ korse !

— Jeffε

Bu bir cevap olarak gönderilmemelidir çünkü sorunuzu hiç cevaplamamaktadır. Sariel'in cevabına bir yorum olarak gönderilebilseydi en iyisi olurdu, ama bunun için çok uzun. Soruya güncelleme olarak gönderirdim.

— Tsuyoshi Ito

Tsuyoshi: Haklısın. Yorumlarım koymak gerekir

— Bin Fu

Cevap alanı yerine yorum alanı. Üzgünüm.

— Bin Fu,

Makalemi anladığını sanmıyorum. Yukarıda yazdıklarınız hem yanlış, hem de makalemde yazanlar değil.

— Sariel Har-Peled,