En Kısa Eşdeğer CNF Formülü

Let bir olmak karşılanabilir ile CNF, Formül n değişkenleri ve m maddeleri. Let S F 1 çözeltisi uzay F 1 .$F_1$$n$$m$$S_{F_1}$$F_1$

Verilen belirleme sorununu ele alalım , bir CNF, Formül F 2 gibi değişkenler aynı seti ile F 1 ile, S , F 2 = S F 1 (aynı çözelti alanı F 1 , ancak mümkün olduğu kadar az maddeleri olarak () ile tek amaç, cümle sayısını en aza indirmektir, bu nedenle her cümlenin kaç değişmez değeri geçerli olmayabilir).$F_1$$F_2$$F_1$$S_{F_2} = S_{F_1}$$F_1$

Soru

Bu sorunu daha önce araştıran var mı? Literatürde bununla ilgili herhangi bir sonuç var mı?

Örnek olarak, aşağıdaki CNF Formula düşünün (her satır bir cümledir): $F_1$

x 2 ∨ x 3 ∨ x 4 ¬ x 1 ∨ x 2 ∨ x 4 ¬ x 1 ∨ x 2 ∨ ¬ x 3 ¬ x 1 ∨ x 3 ∨ x 5 ¬ x 1 ∨ x 2 ∨ ¬ x $x_1 \lor x_2 \lor x_3$
$x_2 \lor x_3 \lor x_4$
$\lnot x_1 \lor x_2 \lor x_4$
$\lnot x_1 \lor x_2 \lor \lnot x_3$
$\lnot x_1 \lor x_3 \lor x_5$
$\lnot x_1 \lor x_2 \lor \lnot x_5$

ve aşağıdaki formül : $F_2$

x 2 ∨ x 3 ∨ x 4 ¬ x 1 ∨ x 3 ∨ x 5 ¬ x 1 ∨ x $x_1 \lor x_2 \lor x_3$
$x_2 \lor x_3 \lor x_4$
$\lnot x_1 \lor x_3 \lor x_5$
$\lnot x_1 \lor x_2$

her ikisi de aynı çözüm kapasiteye sahip ancak ise yer alır 6 maddeleri, F 2 işlem sadece 4 . $F_1$$6$$F_2$$4$

Son olarak, aşağıdaki formül göz önünde bulundurun : $F_3$

¬ x 1 ∨ x 3 ∨ x 5 ¬ x 1 ∨ x $x_2 \lor x_3$
$\lnot x_1 \lor x_3 \lor x_5$
$\lnot x_1 \lor x_2$

Çözelti alanı yine aynıdır, ancak sadece maddeliktir.$3$

Sabitinden en fazla belirli bir sayı ile eşdeğer CNF formül var olup olmadığının belirlenmesi sorunudur -Komple. Cümle sayısını en aza indiren sürüm , formül boyutunun n faktörü dahilindedir ; burada n , değişken sayısıdır. Bkz. Bölüm 6:$\Pi_2^p$$n$$n$

• Christopher Umans, Minimum Eşdeğer DNF Sorunu ve En Kısa Etkileri , JCSS 63 (4), 597–611, 2001. doi: 10.1006 / jcss.2001.1775 ( ön baskı )

Yakın tarihli bir sonuç, en kısa eşdeğer CNF formülünün boyutu için belirli bir alt sınırı hesaplamanın (belirttiğiniz gibi cümle sayısıyla ölçülür) NP-tamamlanmış olduğunu gösterir. Bu makale ayrıca hükümlerin sayısını en aza indirmenin sizin sorun olduğunu bildiren Bu izler neden hemen bana bariz olmasa da, yukarıda nsanlar kara ve demir kağıdı gerekçe yanı -tamamlamak.$\Pi^p_2$

• Ondřej Čepek, Petr Kučera ve Petr Savický, Boole, CNF karmaşıklığı için basit bir sertifika ile çalışır , DAM 160 (4-5), 365-382, 2012. doi: 10.1016 / j.dam.2011.05.013

Devre minization sorunu (aşağıdaki yorumlar) dirençli olan. Ayrıca ilginizi çekebileceğini düşündüğüm bazı SAT çözümleyicilerinin SAT önişleme adı verilen (en azından bir dereceye kadar) uyguladığı tekniktir. Örneğin, iyi bilinen MiniSAT çözücü bir örneği önceden işlemek için bir CNF minimizer SatELite kullanır . Google Akademik, "sat önişleme" için de birçok sonuç vermektedir.

EE'deki CNF minimizasyonunun bilinen ana / bilinen çözümü , bazı uygulamalar, bazı kamu malı olan Quine-McCluskey algoritmasıdır . Ancak benim anlayışım (mevcut wikipedia makalesinde belirtilmedi) en büyük formüller için çözümler esp bulmak için sezgisel tarama ve açgözlü algoritma, yani onlar başkaları yok. en uygun çözümü bul. büyük giriş örnekleri için.

Quine-MCluskey, diyagramların küçük örnekler için başarılı olabileceği Karnough haritaları ile çalışmanın genelleştirilmesidir.

ve aynı (asgari) yan tümcesi büyüklüğüne sahip eşdeğer formüller açısından birden çok optimal çözüm olabileceğini unutmayın, bu konuya iyi bir referansta gösterilecektir. minimumun bulunması, orijinal formülün boyutuna kıyasla, bellekte / "boşlukta" büyük bir üstel patlamayı içerebilecek tüm asal sonuçların listelemesini azaltır.