Ladner Teoremi ve Schaefer Teoremi

"Karmaşıklığı saymada zafer ilan etme zamanı mı?" Başlıklı yazıyı okurken. üzerinden en "Godel'in Kayıp Mektubu ve p = NP" blog, onlar CSP en için ikilemi söz etti. Bazı bağlantıların ardından, googling ve wikipeding, Ladner Teoremine rastladım :

Ladner Teoremi: Eğer ${\bf P} \ne {\bf NP}$ , daha sonra sorunlar var ${\bf NP} \setminus {\bf P}$ olmayan ${\bf NP}$ -tamamlamak.

ve Schaefer'in teoremine :

Schaefer's Dichotomy Teoremi: Her kısıtlama dili için {{ 0 , 1 } üzerindeki Γ , eğer Γ Schaefer ise o zaman C S P ( Γ ) polinom zamanla çözülebilir. Aksi takdirde, Cı- G P ( Γ ) olup , N p Komple.$\ \Gamma$$\{0, 1\}$$\ \Gamma$${\bf CSP}(\Gamma)$${\bf CSP}(\Gamma)$${\bf NP}$

Bunu, Ladner'ın ${\bf P}$ veya -complete olmayan problemlerinin olduğunu , ancak Schaefer'in problemlerinin sadece ve -complete olduğunu söylemek için okudum .${\bf NP}$${\bf P}$${\bf NP}$

Neyi kaçırıyorum? Neden bu iki sonuç birbiriyle çelişmiyor?

Yukarıdaki teorem ifadelerinin yoğunlaştırılmış halini buradan aldım . "Son Yorumlar" bölümünde, "Eğer bir sorun de ise, ancak -complete değilse", CSP olarak formüle edilemez "diyor. .${\bf NP} \setminus {\bf P}$${\bf NP}$

Bu, sorunlarının içindeki bazı örnekleri özlediği anlamına mı geliyor ? Bu nasıl mümkün olabilir?${\bf SAT}$${\bf NP}$

Massimo Lauria'nın belirttiği gibi, CSP ( ) şeklindeki problemler oldukça özeldir. Öyleyse hiçbir çelişki yok.$\Gamma$

Herhangi bir kısıtlama memnuniyeti problemi örneği, S ve T ilişkisel yapılarının bir çifti olarak temsil edilebilir ve kişi, S kaynağından hedefe ilişkisel bir yapı homomorfizmi olup olmadığına karar vermek zorundadır.$(S,T)$$S$$T$$S$. $T$

CSP ( ) özel bir kısıtlama memnuniyeti sorunudur. Bu oluşur tüm kullanılarak kurulmuştur ilişkisel yapıların çifti sadece gelen ilişkiler y hedef ilişkisel yapıda: CSP ( Γ ) = { ( S , T ) | tüm ilişkiler  T  vardır  y } . Schaefer Teoremi, Γ sadece { 0 , 1 } , sonra CSP ( Γ üzerinden ilişkiler) içerdiğini söylüyor$\Gamma$$\Gamma$$\Gamma$$\{(S,T) \mid \text{all relations of } T \text{ are from } \Gamma\}$$\Gamma$$\{0,1\}$$\Gamma$) ya NP tamamlandı ya da P'dir, ancak diğer CSP örnekleri koleksiyonları hakkında hiçbir şey söylemez.

Aşırı bir örnek olarak, NP-tamamlanmış bazı CSP ( ) ve dilde "üfleme delikleri" ile başlanabilir . (Ladner bunu teoreminin ispatıyla SAT ile yaptı.) Sonuç, yalnızca bazı örnekleri içeren bir altkümedir ve artık herhangi bir Γ ′ için CSP ( Γ ′ ) biçiminde değildir . Yapının tekrarlanması, P ≠ NP olduğu varsayılarak, sertliği azaltan dillerin sonsuz bir hiyerarşisini oluşturur.$\Gamma$$\Gamma'$$\Gamma'$

problemlerinin jenerik S A T problemlerinin sahip olmadığı bir yapıya sahip olduğunu anlamalısınız . Sana basit bir örnek vereceğim. Let Γ = { { ( 0 , 0 ) , ( 1 , 1 ) } , { ( 0 , 1 ) , ( 1 , 0 ) } $\mathsf{CSP}$$\mathbf{SAT}$$\Gamma=\{\{(0,0),(1,1)\},\{(0,1),(1,0)\}\}$. Bu dil, yalnızca iki değişken arasındaki eşitliği ve eşitsizliği ifade edebileceğiniz şekildedir. Açıkçası, bu gibi herhangi bir kısıtlama kümesi polinom zamanında çözülebilir.

Sana arasındaki ilişkiyi netleştirmek için iki argüman verecektir ve maddeleri. Aşağıdakilerin P ≠ N P olduğunu varsaydığına dikkat edin.$\mathsf{CSP}$$\mathbf{P}\not=\mathbf{NP}$ .

Birincisi : Kısıtlamalar belirli sayıda değişkene sahipken, ara problemlerin kodlanması için büyük cümlecikler gerekebilir. Bu, böyle büyük kısıtlamaların yardımcı değişkenler kullanarak küçük olanların birleşimiyle ifade edilebildiği durumlarda mutlaka bir sorun değildir. Ne yazık ki bu her zaman genel için durum böyle değil $\Gamma$ .

değerini yalnızca beş değişkenli O R içerdiğini varsayınız . Açıkça, girişleri tekrarlayarak daha az değişkenli O R'yi ifade edebilirsiniz . Daha büyük bir O R ifade edemezsiniz çünkü bunu uzantı değişkenlerini kullanarak yapmanın yolu pozitif ve negatif değişmezlerin ayrılmalarını gerektirir. Γ üzerinde ilişkileri temsil değişkenler olmamasına, değişmezleri . Gerçekten de, bir C S P olarak 3- S A T'yi düşündüğünüzde , bazı olumsuzlanmış girişlerle dört sıyrılma ilişkisini içermeniz gerekir (sıfırdan üçe).$\Gamma$$\mathsf{OR}$$\mathsf{OR}$$\mathsf{OR}$$\Gamma$$\mathbf{SAT}$$\mathsf{CSP}$$\Gamma$

İkincisi : her bir ilişki, (örneğin) üç değişmez içeren bir madde kümesi olarak ifade edilebilir. Her kısıt, bu tür cümlelerin toplamı olmalıdır. Eşitlik / eşitsizlik sınırlamaları ile ilgili örnekte, ikili bir reddedilen O R (yani ilişki ( 0 , 0 ) zorlamaksızın bir ikili A N D'ye (yani ilişki ( 1 , 1 ) ) sahip olamazsınız.$\Gamma$$\mathsf{AND}$${(1,1)}$$\mathsf{OR}$${(0,0)}$ , aynı değişkenler üzerinde ) .

Umarım bu size şunu göstermektedir ki , C S P'den elde edilen örnekleri , the'ın doğası tarafından uygulanan çok özel bir yapıya sahiptir.$\mathbf{SAT}$$\mathsf{CSP}$$\Gamma$ . Yapı çok sıkı ise o zaman zor problemleri ifade edemezsiniz.

Schaefer teoreminin doğal bir sonucu, her olmasıdır ifade etmek için gevşek yeterli bir yapı zorlar N P ∖ P karar problemlerini, daha sonra aynı Γ yeterli serbestlik genel 3- ifade sağlar S A T örnekleri.$\Gamma$$\mathbf{NP\backslash P}$$\Gamma$$\mathsf{SAT}$