3 değerli mantığın işlevsel bütünlüğü

Son zamanlardaki bazı çalışmalar bağlamında, üç değerli mantık à la Kleene'ye dayanan bir dil tanımladık. $1$ gerçek anlamına gelir, $0$ yanlış için ve $\bot$ hata ya da bilmiyorum. Dilimizin etkileyici olduğunu göstermek için, işlevsel olarak tamamlanmış bir dizi operatör oluşturabileceğimizi kanıtlamak istedik.

Literatürde mevcut sonuçları bulmak oldukça zordu. 1962'de Jobe tarafından yazılmış ve aşağıdaki teoremi belirten bir makale bulduk:

Jobe 1962 Teorem Belgesi (sınırlı erişim).

Üç değerli mantık $E$ set üzerinden ifade $\{1, 2, 3\}$ ve operatörler tarafından tanımlanır $\bullet, E_1$ ve $E_2$ , aşağıda verilmiştir, işlevsel olarak tamamlanmıştır.

$\begin{array}{cccccc} ∙ & 3 & 2 & 1 & E_{1} & E_{2} \\ 3 & 3 & 2 & 1 & 3 & 1 \\ 2 & 2 & 2 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 2 & 3 \end{array}$ $\begin{array}{c|ccc|c|c} ~\bullet~ & ~3~ & ~2~ & ~1~ & ~E_1~ & ~E_2~ \\ \hline 3 & 3 & 2 & 1 & 3 & 1 \\ 2 & 2 & 2 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 2 & 3 \end{array}$

Yazımızda, bu sonucu operatörlerimiz ve Jobe tarafından tanımlananlar arasında bir uyum göstererek kullandık (kabaca konuşursak, güçlü birleşimi, olumsuzlamayı ve bilmeyerek yanlış dönüştüren bir operatörü kullanıyoruz).

Asıl endişem şu ki, Jobe'un işlevsel bütünlüğünün kanıtını anlayamıyorum ve bu tarihten sonra başka bir sonuç (pozitif veya negatif) bulamadık, ki bu biraz şaşırtıcı.

Benim sorum şu: 3 değerli mantığın işlevsel bütünlüğü hakkında daha bilinen bazı sonuçlar var mı? Bu yönde herhangi bir bilgi yardımcı olacaktır.

reference-request lo.logic

— Charles
kaynak

3

$3$ -element alanı işlevsel olarak tamamlandı.

3

$3$ -element Post cebir işlevsel olarak tamamlandı.

— Emil Jeřábek

@ EmilJeřábek Teşekkürler, sadece Üçlü Yazı Mantık hakkında okudum ve bu karşılık geliyor gibi görünüyor (her ne kadar bu konuda da bulamıyorum). 3 elemanlı alan hakkında referans verebilir misiniz? Google biraz fazla belirsiz.

— Charles

Size bir referans veremem, ancak bu kolay bir gerçek: standart (çok değişkenli) enterpolasyon, sonlu bir alandaki herhangi bir işlemin bir polinom tarafından ifade edilebileceğini ima eder. Dahası, eğer alan asal ise (burada olduğu gibi), o zaman polinom katsayıları sabit terimlerle tanımlanabilir (

1 + 1 + \dots + 1

$1+1+\cdots+1$ ). Böylece, dilde asal alanlar

{+, \cdot, 1}

$\{+,\cdot,1\}$ işlevsel olarak tamamlanmıştır.

— Emil Jeřábek

Kitabın 5. ve 6. bölümleri [Sonlu kümeler üzerindeki fonksiyon cebirleri, Dietlinde Lau, 2006] çok değerli mantıkta (ispatlar dahil) işlevsel bütünlüğün derinlemesine bir muamelesini içerir. Özetle: Rosenbergs [1965, 1970] maksimal klonların (önceden tamamlanmış klonlar olarak da adlandırılır) karakterizasyonu, herhangi bir k için k-değerli mantıkta fonksiyonel bütünlük için bir kriter verir.

3 değerli mantık için, 1954'te Jablonskij tarafından böyle bir karakterizasyon (18 maksimum / ön tamamlanmış sınıftan oluşur) verilmiştir. Bu nedenle, 3 değerli "operatörler" setinizin işlevsel olarak tamamlandığını doğrulamak için, 18 ön-tamamlayıcı sınıftan herhangi birine girip girmediklerini kontrol etmek için yeterlidir.

— Gustav Nordh
kaynak