IP = PSPACE'in göreceli olmamasının “gerçek” nedeni nedir?

$O$ ${\sf coNP}^O \not\subseteq {\sf IP}^O$ ${\sf coNP}^O \subseteq {\sf PSPACE}^O$ $O$

Ancak, yalnızca birkaç kişinin sonucunun neden göreceli hale gelmediğine ve genel yanıtın "aritmetizasyon" olduğuna " doğrudan" bir açıklama yaptığını gördüm . IP = PSPACE ispatı incelendikten sonra, bu cevap yanlış değil , ama benim için tatmin edici değil. Görünüşe göre "gerçek" neden, TQBF - gerçek nicelikli boole formülü - sorunun PSPACE için tamamlandığının kanıtına kadar uzanıyor; bunu kanıtlamak için, bir PSPACE makinesinin konfigürasyonlarını polinom boyutlu bir formatta kodlayabileceğinizi göstermeniz gerekir ve (bu, relativize edici olmayan bir kısım gibi görünür), polinom boyutlu bir konfigürasyon arasındaki "doğru" geçişleri kodlayabilirsiniz boolean formülü - bu Cook-Levin tarzı bir adım kullanır. ${\sf IP} = {\sf PSPACE}$

Geliştirdiğim sezgi, görecelemeyen sonuçların Turing Makineleri'nin cesur cesareti ile sonuçlanan sonuçlar olması ve TQBF'nin PSPACE için tamamlandığı gösterilen adım, bu alay etmenin gerçekleştiği yer - ve aritmeteleme adımı Sadece oldu, çünkü aritmetize etmek için açık bir boole formülü vardı.

Bu bana IP = PSPACE'in göreceli olmamasının temel nedeni gibi görünüyor; ve aritmetizasyon tekniklerinin göreceli hale getirmediği folklor mantrası bunun bir yan ürünü gibi görünüyor: bir şeyi aritmetize etmenin tek yolu, TM'ler hakkında bir şey kodlayan boolean bir formüle sahip olmanızdır!

Kaçırdığım bir şey var mı? Bir alt sorgu olarak - bu, TQBF'yi bir şekilde kullanan tüm sonuçların da göreceli olmadığı anlamına mı geliyor?

cc.complexity-theory interactive-proofs relativization

— Henry Yuen
kaynak

Nicel bir Boole formülüne oracle kapıları dahil edebilirsiniz ve daha sonra PSPACE ^ O için böyle bir relativize TQBF ^ O tamamlanır, bu nedenle bu relativize edici adım değildir.

— Emil Jeřábek Monica

Merhaba Emil - biraz daha ayrıntı verebilir misiniz? Diyelim ki bir

makine M'ye sahibim ve L (M) 'nin (M tarafından kabul edilen dil)

(

ne olursa olsun ) indirgenebileceğini kanıtlamaya çalışıyorum.

anlamına gelir). Sonunda, oracle makinesinin M iki konfigürasyonunun C, C 'nin komşu olup olmadığını ifade eden bir boole formülü bulmam gerekecek (herhangi iki konfigürasyon için C, C'). Kehanete bakılmaksızın, bu boole formülünün, polinom büyüklüğünde, sınırlı büyüklüğe sahip olmasını nasıl sağlayabilirim? Örneğin, O Durma Problemini kodlayabilir.

{P S P A C E}^{O}

${\sf PSPACE}^O$

T B Q F^{O}

$TBQF^O$

T B Q F^{O}

$TBQF^O$

— Henry Yuen

Sanırım bunu daha da ileriye götürebilirim - Cook-Levin teoreminin kendisi nüksetiyor mu? Yukarıda belirtilen nedenlerden ötürü, sanmıyorum. Cook-Levin teoreminin relativize olup olmadığı, TQBF'nin PSPACE-tamlık kanıtının da relativize olup olmadığını belirler.

— Henry Yuen

Bir QBF ^ Ç formülü dışında her zamanki Nicelik ve Boole connectives gelen, aynı zamanda yeni bir sınırsız fan-kapının kullanabilirsiniz, diyelim

olan semantik, yani

dizgisi kâhin

aitse . Bu dilde, bir yapılandırmanın diğerinin ardılı olduğunu ifade etmek basit bir alıştırmadır, çünkü oracle sorgu bandının içeriğini

f (x_{0}, \dots, x_{n})

$f(x_0,\dots,x_n)$

f (x_{0}, \dots, x_{n}) = 1

$f(x_0,\dots,x_n)=1$

x_{0} \dots x_{n}

$x_0\dots x_n$

O

$O$

f

$f$ . (Burada bir PSPACE makinesinin sadece polinom olarak uzun sorgular yapabileceğini varsayıyorum.)

— Emil Jeřábek Monica

Görüyorum - TQBF'nin PSPACE-eksiksizliğinin kanıtını yeniden canlandırdığınızda, sadece oyundaki makineleri göreceli olarak değil, aynı zamanda boolean formüllerini kendileri de yeniden bağdaştırdığınızı söylüyorsunuz (bu yüzden artık tam anlamıyla boolean formülleri değiller) ). Bu durumda, aritmetrasyon adımının neden çökeceğini görebiliyorum. Teşekkürler! Belki bir cevap olarak yazabilirsiniz.

— Henry Yuen

" Asıl sebep nedir ..." sorusunun herhangi bir cevabı mutlaka biraz öznel olacaktır. Bununla birlikte, IP = PSPACE özel durumu için, IP = PSPACE'in göreceli olarak olmasa da Aaronson ve Wigderson anlamında cebirleştiğini gözlemleyerek, aritmetizasyonun gerçekten anahtar olduğu oldukça iyi bir durum yapılabileceğini düşünüyorum . Onların kağıt açıklamak üzere, kabaca bir karmaşıklık sınıfı dahil, konuşma algebrizes halinde bütün Kehanetlerini için ve bütün düşük derecede uzantıları bölgesinin ${\cal C} \subseteq {\cal D}$ ${\cal C}^A \subseteq {\cal D}^{\tilde A}$ $A$ $\tilde A$ . Özellikle, PSPACE IP'nindahil edilmesinin, relativize olmamasına rağmen, cebirleştiğini gösterirler. $A$ $\subseteq$

Geliştirdiğim sezgi, görecelemeyen sonuçların Turing Makineleri'nin cesur cesareti ile sonuçlanan sonuçlar olduğudur.

Bu kötü bir sezgi değil, ama Aaronson-Wigderson sonucunun IP = PSPACE kanıtının oldukça sınırlı bir şekilde ortaya çıktığını ve kesinlikle P NP'yi kanıtlamak için yeterince sofistike bir şekilde olmadığını gösterdiğini düşünüyorum , çünkü Aaronson ve Wigderson da P'yi NP'den ayırmak için cebir almayan tekniklerin gerekli olacağını göstermektedir. $\ne$

— Timothy Chow
kaynak

Referans için teşekkürler. Bunu anlayıp anlamadığımı göreyim: siz - ve Aaronson / Wigderson gazetesi - tartışıyor gibi görünüyor ki, "aritmetizasyon" zayıf bir şekilde göreceli olmayan bir adımdır ve görecelilik kavramında küçük, doğal bir değişiklik (yani, cebirsel relativizasyon) bu özelliği bozacaktır. IP = PSPACE kanıtının geri kalanı relativize olduğu için (ve Emil'in yukarıda söylediklerine ikna oldum), bu IP = PSPACE sonucunun kendisinin çok zayıf bir şekilde relativize olmadığı anlamına gelir. Çok ilginç! Teşekkürler. Ben :) Her iki cevapları kabul bir yol gerekir

— Henry Yuen

Evet, temelde doğru.

— Timothy Chow