Dinamik grafiklerde artımlı Maksimum Akış

Dinamik grafiklerde maksimum akışı hesaplamak için hızlı bir algoritma arıyorum. bir grafik verilmiş yani ve s , t ∈ V maximum akışına sahip F de G den s için t . Daha sonra yeni / eski düğüm u bir grafik G 1 oluşturmak için karşılık gelen kenarlarıyla eklenmiş / silinmiştir . Yeni oluşturulan grafikteki maksimum akış nedir? Maksimum akışı yeniden hesaplamayı önlemenin bir yolu var mı?$G=(V,E)$$s,t\in V$$F$$G$$s$$t$$u$$G^1$

Çok zaman / bellek tüketmeyen herhangi bir önişleme takdir edilmektedir.

En basit fikir akışı yeniden hesaplamaktır.

Başka bir basit fikir, önceki maksimum akış hesaplamasında kullanılan tüm artırım yollarını kaydetmek, bir noktası eklemek için , kaynaktan başlayan basit yolları (önceki adımda güncellenmiş kapasite grafiğinde) bulabiliriz, sonra v'ye gider. hedefe, ama sorun, bu yol basit olmalıdır, ben daha iyi bulamadık O ( n ⋅ m ) Bu durum için, için m = | E | . (Ayrıca, yalnızca bir yol olsaydı, O ( n + m ) ' de yapılabileceğini, ancak böyle olmadığını unutmayın.)$v$$v$$O(n\cdot m)$$m=|E|$$O(n+m)$

Ayrıca yukarıdaki düğümü kaldırmak için fikir işe yaramaz.

Ayrıca zaten kenarlar için Artan yaklaşım gibi kağıtları gördüm , ancak bu durumda yeterince iyi görünmüyorlar, her kenar için den daha fazla ve bu durumda uygun bir uzantı gibi görünmüyor (sadece bir akışı yeniden hesaplıyoruz). Ayrıca şu anda Ford-Fulkerson maksimum akış algoritması kullanıyorum Çevrimiçi algoritmalar için daha iyi bir seçenek varsa, bunu bilmek iyidir.$O(m)$

Tarif edilen yaklaşım teorik olarak optimal olmayabilir. Yazar için işe yarayabilecek basit ve pratik bir çözümdür. Herhangi bir referans veremem çünkü her zaman yaygın olarak bilinen bir folklor olduğunu düşündüm, ancak garip bir şekilde cevapta kimse yayınlamadı. Ben de yaparım.

Yönlendirilmemiş bir ağımız olduğunu varsayalım . Kolay köşe / ark eklemelerine / silmelerine izin veren bir veri yapısında saklandığını varsayın. Bazen artık ağ G f'yi kullanacağız (yani güncellenmiş kapasiteler c f = c - f ).$G=(V,E,c)$$G_f$$c_f = c - f$

İlk bölüm, köşe eklemelerinin / silinmesinin nasıl işleneceğidir. Eklemeler için az çok basittir:

1. Kalan ağa karşılık gelen kenarları olan yeni bir tepe noktası ekleyin.
2. Seçtiğiniz bir maksimum akış algoritmasını kullanarak güncellenmiş artık ağda maksimum akışı bulun.

Silme işlemleri için işler daha karmaşık hale geldi. Biz köşe bölmek düşünün biz 2 ikiye silmek üzeresiniz v ı n ve v o u t tümünde-yaylar işaret böyle v ı n , tüm dışı yay gider v o u t ve bu yeni köşe bağlanır sonsuz kapasitede bir yay ile. Daha sonra v'nin silinmesi, v i n ve v o u t arasındaki arkın silinmesine eşdeğerdir . Bu durumda ne olacak? F v ile gösterelim$v$$v_{in}$$v_{out}$$v_{in}$$v_{out}$$v$$v_{in}$$v_{out}$$f^v$tepe geçen akış . Daha sonra v i n fazla f v akış birimi deneyimleyecek ve v o u t silme işleminden hemen sonra f v akış birimi yetersizliği yaşayacaktır (akış kısıtlamaları açıkça kırılacaktır). Akış kısıtlamalarının tekrar tutulmasını sağlamak için akışları yeniden düzenlemeliyiz, aynı zamanda orijinal akış değerini olabildiğince yüksek tutmak istiyoruz. Önce toplam akışı azaltmadan yeniden düzenleme yapıp yapamayacağımızı görelim. Kontrol etmek için, bir MaxFlow bulmak ~ f v den v ı n için v o $v$$v_{in}$$f^v$$v_{out}$$f^v$$\tilde{f^v}$$v_{in}$ "kesik" rezidüel ağda (yani v i n ve v o u t ark bağlantısı olmadan). Açıkçası f v ile sınırlamalıyız. O eşit olmak olur f v o zaman şanslı: biz geçiyordu akışını yeniden atamışvtoplam akış değiştirilmedi böyle bir şekilde. Diğer durumda toplam akış,us= f v - ~ f v birimlerinin"yararsız" fazlalığı ile azaltılmalıdır. Bunu yapmak için, geçici olaraksve$v_{out}$$v_{in}$$v_{out}$$f^v$$f^v$$v$$\Delta = f^v - \tilde{f^v}$$s$$t$yeniden MaxFlow algoritması tarafından işletilen sonsuz kapasitesinin bir ark ile ve için v O u t (biz, akış bağlanmış olmalıdır Ô ). Bu, kalan ağı düzeltir ve akış kısıtlamalarının tekrar tutulmasını sağlar ve toplam akışı otomatik olarak Δ azaltır .$v_{in}$$v_{out}$$\Delta$$\Delta$

Bu tür güncellemelerin zaman karmaşıklığı, kullandığımız maksimum akış algoritmasına bağlı olabilir. En kötü vakalar oldukça kötü olabilir, ancak yine de toplam yeniden hesaplamadan daha iyidir.

$O(|V|^2|E|)$$O(|E|^2 \log C_{max})$

Tamam yeni bilgileri dikkate alarak ve bazı zor önceki yanlış başlangıç ​​/ kırmızı ringa balığı refs (mea culpa) kaçınarak, işte bu konuda bazı yeni refs.

Çevrimiçi Minimum Kesintileri Hesaplamak İçin Uzantılarla Maksimum Akış Sorunlarının Çevrimiçi Sırasını Hızla Çözme Doug Altner ve Özlem Ergun

bu referans , MFP'lerin çevrimiçi dizilerini ve "sıcak başlangıçları", yani önceki bir MFP'ye artan artışlar üzerine inşa etmeyi göz önünde bulundurur . "Algoritmalarımızın, kara kutu MFP çözücü kullanan benzer kodlarla karşılaştırıldığında çalışma süresini bir büyüklükte azalttığını gösteriyoruz. Özellikle, sağlam minimum kesimler için algoritmamızın dörtten fazla süreyi gerektiren örnekleri çözebileceğini gösteriyoruz bir kara kutu maksimum akış çözücü kullanarak saat. "

maksimum akış içeren problemlerde gelişmeler Altner, Douglas S., georgia tech

bu 2008 Doktora tezinde (indirilebilir pdf) yazar, yeni köşeler (birden fazla yeni yay ile) ekleme sorununa "yeterince yakın" görünen yayların artımlı olarak eklenmesi sorununu ele almaktadır.

bu referansın çoğu, özetin 1. bölümünde belirtildiği gibi ağın bazı bölümlerini (kesintiler / "yasak") silmekle ilgilidir.

bkz. esp "IV MAKSİMUM AKIŞLARIN ÇEVRİMİÇİ SIRALAMALARINI ÇÖZME..... s63".

"Ancak bu bölümün amacı, okuyucuyu çok sayıda MFP dizisini çözmek için bir kara kutu maksimum akış çözücü kullanmanın yinelemeli olarak çok sayıda gereksiz hesaplamaya yol açabileceğine ikna etmektir."

p66 "Yukarıda belirtilen uygulamalarda, MFP'ler tipik olarak topolojik olarak benzerdir. Yani, sıradaki bir sonraki MFP, az sayıda yay ekleyerek veya çıkararak veya yerelleştirilmiş bir ark kümesinin kapasitelerini değiştirerek öncekinden farklıdır. , bu örnekleri çözerken, önceki sorunun çözümünün ötesinde herhangi bir şeyi saklamak için gereken zaman ve alan genellikle garanti edilmez. "

p67 yazarı da burada "sıcak başlangıç" yaklaşımını kullanıyor. "Tüm çevrimiçi optimizasyon problemlerini hızlı bir şekilde çözmek için etkili bir strateji, verimli yeniden optimizasyon buluşsal yöntemlerini geliştirmektir. Bu amaçla, verimli sıcak başlangıçlar için tasarlanmış değiştirilmiş bir maksimum akış algoritması geliştiriyoruz." "

yeni artımlı ark problemi olan esp p71'e bakınız:

Yeni Ark Maksimum Akış Yeniden Optimizasyon Sorunu (NAMFRP)

yazar daha genel sorunları düşünüyor p67

Maksimum Akış Yeniden Yönlendirme Sorunu (MFROP)
Maksimum Akış Tek Ark Yeniden Yönlendirme Sorunu (MFSAROP)

Bazı hızlı aramalardan, çevrimiçi sürümün aktif bir araştırma alanı olduğu anlaşılıyor. literatür aramasını daraltmaya yardımcı olabilecek uygulama alanından bahsetmezsiniz. seçeneklerden biri, en yeni veya en son yeniliğin bulunduğu bir uygulama alanı aramaktır. dolayısıyla görme sistemlerinde artımlı maksimum debi uygulaması ve bunun için bazı algoritmalar vardır; microsoft araştırma laboratuvarlarında Artan Genişlik-İlk Arama ile Maksimum Akışları deneyin . Görünüşe bakılırsa Boykov ve Kolmogorov algoritması iyi bir performans sergiliyor ve vizyon uygulamalarının dışında kötü performans göstermesine rağmen bilinen üstel zamana karşı örnekler yoktur. verilerinizde B&K algoritmasını denemeye ve nasıl performans gösterdiğini görmeye değer olabilir.

grafik kenarlarında doğrusal olan artımlı bir algoritmanın yeterli hız olmadığını mı söylüyorsunuz? ama bu oldukça yüksek verimlilik değil mi? kaç kenar ile uğraşıyorsun? belki de yaklaşım pahalıysa veya önemli bir faktörse (örneğin, bellekte depolanan grafiğe karşı db'de saklanan grafik)

burada, maksimum akış için artımlı olmayan algoritma P'de iken, artımlı versiyonun NP tam olduğunu iddia eden ilginç bir makale. "Bildiğimiz kadarıyla sonuçlarımız, artımlı versiyonu NP tamamlanmış olan P-zamanı problemini ilk bulan sonuçtur."

Hartline, Sharp'ın artımlı akışı

diğer bir olasılık / yön, " maksimum akış için en verimli algoritmalardan biri olan" ve verilerinize bağlı olarak daha iyi karmaşıklık profillerine sahip olabilen itme-yeniden etiketleme maksimum akış algoritmasıdır. wikipedia sayfasının belirttiği gibi

$O(V^3)$$O(V^2 \sqrt E$$O(V \cdot E \cdot log(V^2 / E))$