Normal dil sınıfını yakalayan minimum FO uzantısı nedir?

Bağlam: mantık ve otomatlar arasındaki ilişkiler

Büchi Teoremi, dizeler üzerindeki Monadic İkinci Dereceden mantığın (MSO) normal dil sınıfını yakaladığını belirtir. Kanıt aslında dizeler üzerinde varolan MSO'nun ( $\exists\text{MSO}$ veya EMSO ) normal dilleri yakalamak için yeterli olduğunu göstermektedir. Bu biraz şaşırtıcı olabilir, çünkü genel yapılar üzerinde, MSO dan kesinlikle daha ifade . $\exists\text{MSO}$

(Orijinal) sorum: normal diller için minimal bir mantık mı?

Genel yapılar üzerinde, dan kesinlikle daha az etkileyici olan , ancak dizeler üzerinde ele alındığında hala normal dil sınıfını yakalayan bir mantık mı? $\exists\text{MSO}$

Özellikle, en az sabit nokta operatörü (FO + LFP) ile genişletildiğinde, normal dillerin hangi parçasının FO tarafından dizeler üzerinde yakalandığını bilmek istiyorum. Aradığım şey için doğal bir aday gibi görünüyor (eğer değilse ). $\exists\text{MSO}$

İlk cevap

Gereğince @ Makoto-Kanazawa cevabı , hem FO (LFP) ve daha fazlası TC ikili ilişkilerin geçişli kapatılması bir operatör olduğu düzenli diller, daha FO (TC) yakalama. TC'nin başka bir operatör veya operatör kümesi tarafından değiştirilip değiştirilemeyeceği, uzantının tam olarak normal diller sınıfını yakalayacak ve başkalarını tanımayacak şekilde görülecektir.

Bildiğimiz gibi, sadece birinci dereceden mantık yeterli değildir, çünkü normal dillerin uygun bir alt sınıfı olan yıldızsız dilleri yakalar. Klasik bir örnek olarak, Parite dili FO cümlesi kullanılarak ifade edilemez. $\;\;=(aa)^*$

Güncel soru

İşte sorumun yanıtsız kalan yeni bir ifadesi.

Birinci dereceden mantığın asgari uzantısı nedir, böylece FO + bu uzatma, dizeleri ele geçirdiğinde tam olarak normal dil sınıfını yakalar mı?

Burada, bir uzantı, normal diller sınıfını (dize üzerinden alındığında) yakalayan tüm uzantılar arasında en az anlamlıysa (genel yapılar üzerinden alındığında) minimumdur.

— Janoma
kaynak

Eğer yanılmıyorsam,

hesabı gerçekten dizeler üzerinden MSO'ya eşdeğerdir.

μ

$\mu$

— Sylvain

@Sylvain, referans var mı?

hesabı hakkında hiçbir şey bilmiyorum .

μ

$\mu$

— Janoma

İspatlanmış gibi görünen dx.doi.org/10.1109/LICS.1988.5137 içinde sonsuz ağaç ve dx.doi.org/10.1007/3-540-61604-7_60 MSO ele almıştır değişmeyen parçası ile denklik için keyfi yapılar üzerinde.

— Sylvain

İkinci makaleye bakıyorum, ancak korkarım birçok kavram benim için yeni. Özellikle, bisimülasyon-değişmez geçiş sistemlerini bilmiyordum. DFA'nın bir geçiş sisteminin belirli vakaları olduğu anlaşılıyor, ancak bunların bisimülasyonla değişmez olup olmadığını bilmiyorum. Eğer öyleyse, bu sorumun bir kısmını cevaplayacaktı (normal diller için daha az anlamlı bir mantık olabilir); eğer öyle değilse, bence hiçbir şey söylenemez, çünkü sadece telleri düşünürken hala bir denklik olabilir.

— Janoma

Geçiş sistemleri olarak görülen iki sonlu kelime izomorfik olduklarından farklıdır. (İkinci kağıt, bir kelimenin gösterimler olarak

ile

bir geçiş sistemi olarak görülebilir

a_{1} \dots a_{n}

$a_1\cdots a_n$

Σ^{*}

$\Sigma^\ast$

Σ = 2^{P r o p}

$\Sigma=2^{\mathit{Prop}}$

⟨ {1, \dots, n}, 1, {(i, i + 1) ∣ i < n}, {i ∣ p \in a_{i}}_{p \in P r o p} ⟩

$\langle\{1,\dots,n\},1,\{(i,i+1)\mid i<n\},\{i\mid p\in a_i\}_{p\in\mathit{Prop}}\rangle$

— Sylvain

Yanıtlar:

FO (LFP) sıralı yapılarda PTIME değerini yakalar ve dizeler sıralı yapılardır. Bu yüzden FO (LFP) tarafından tanımlanabilir diller tüm normal dilleri ve çok daha fazlasını içerir. http://dx.doi.org/10.1016/S0019-9958(86)80029-8

Ebbinghaus ve Flum'un ders kitabında FO (TC ^ 1) (ikili ilişkilerin geçişli kapanışlarıyla genişletilen birinci dereceden mantık) dizelerde MSO'ya eşdeğer olduğunu gösteren bir alıştırma bulunmaktadır. Aynı egzersiz olarak FO göstermek için bir örnek olarak kullanılmıştır (TC ^ 2) dizeleri MSO göre daha anlamlıdır. Tüm FO (TC) formülleri açıkça FO (LFP) formüllerine eşdeğerdir. $\{ a^n b^n \mid n \geq 1 \}$

— Makoto Kanazawa
kaynak

Mükemmel. TC ^ 1 ve TC ^ 2 ile ne demek istediğini bilmiyorum, bu bir yazım hatası mı? Bildiğim kadarıyla, kitapta kullanılan gösterimin, geçişli kapama ile FO'nun uzatılması için FO (TC) ve farklı olarak tanımlanan deterministik geçiş kapama ile FO'nun uzatılması için FO (DTC) olduğunu belirtiyorsunuz . Yine de bahsettiğiniz egzersizi bulamadım. TC'den daha az etkileyici bir operatörün hala normal dilleri yakalamaya izin verip vermediğini görmek için kalır. Sorumu buna göre güncelleyeceğim.

— Janoma

Bu cevap biraz geç, ancak her sonlu grup (veya her sonlu basit grup için eşdeğer) için genelleştirilmiş bir grup nicelleştirici ekleyerek normal dillerin tümünü ve sadece elde edebileceği bilinmektedir. Örneğin, http://www.brics.dk/RS/03/28/BRICS-RS-03-28.pdf .

Dahası, bu, normal bir dilin sadece sözdizimsel monoidini bölen her grup için nicelik belirteçler mevcut olması durumunda tanımlanabilmesi açısından en uygunudur.

— Ben Standeven
kaynak

$^r$ $^r$ $2r$ $r$

İlginizi çekebilecek bazı referanslar buldum.

$^1$

Bargury ve Makowsky 1992 kağıt gösterileri bu deterministik monadic Geçişli kapatma-FO (DTC $^1$ ) Ebbinghaus ve Flum'un gösterimlerinde - düzenli dize dilleri tanımlamak için yeterlidir (bu makalede Teorem 5'e bakınız).

— Makoto Kanazawa
kaynak