Çağırma amacı nedir bir cebir -calculus?

-calculus'u bir hesap yerine bir cebir olarak adlandırmanın farkı nedir ? Bu soruyu gündeme getiriyorum çünkü bir yerde " -calculus bir matematik değil bir cebir" (iirc, Dana Scott'a atfedilen). Amaç ne? Teşekkürler.$\lambda$$\lambda$

Analiz, sembolik ifadelerin manipülasyonuna dayanan bir hesaplama sistemidir. Bir cebir sembolik ifadeler ve aralarındaki ilişkiler sistemidir [*]. Yani, bir hesap, cevapları bulmak için bir sistemdir ve bir cebir, terimler arasındaki ilişkileri ifade etmenin bir yoludur.

-calculus aklınıza isteyip bağlı olarak ya bir hesap veya cebir ve odaklı azaltma kuralları veya yönlendirilmemiş denklemler olarak kurallar. Kuralların yönlendirildiğini düşünüyorsanız, bir değerlendirme talimatı belirlediniz ve kurallar size nasıl bir dönem alacağınızı ve normal bir form üreteceğinizi söylüyor. Kuralların yöneltilmemiş olduğunu düşünüyorsanız, size -terms üzerinde eşitlik ilişkisini verirler.β η $\lambda$$\beta$$\eta$$\lambda$

[*] Resmi olmayan bir fikirden biraz daha kısıtlayıcı olan resmi bir tanım olan kategorik bir cebir tanımı da vardır. Gevşek olarak, fark, cebirin biçimsel tanımının sadece değişken bağlanma olmayan sistemleri kapsamasıdır. Dolayısıyla SKI birleştiricileri bir cebir oluşturur, ancak -calculus oluşturmaz.$\lambda$

Geleneksel olarak bir cebir, bazı denklemleri tatmin eden işlemlere sahip bir taşıyıcı kümedir ("grup" düşünün). Kavramın genelleştirilmesinin birçok yolu vardır:

• çok sıralı cebirlerin birkaç taşıyıcı seti vardır. Bir örnek, bir halkası üzerinde bir modülü olup , burada her şeyi tek bir cebir olarak değerlendirmek isteriz. Oldukça aptalca bir başka örnek, iki taşıyıcı set, kenarların ve köşelerin ve iki işlem, kaynak ve hedef , hiçbir denklemi karşılamayan yönlendirilmiş bir grafiktir .R E V s : E → V E → $M$$R$$E$$V$$s : E \to V$$E \to V$

• sadece denklem olmayan daha genel aksiyomlara izin verilebilir. Örneğin, bir alanın aksiyomları dışındaki tüm denklemlerdir . Başka bir örnek, ayrılmaz bir etki alanı gibidir.$x \neq 0 \implies x \cdot x^{-1} = 1$

• daha genel operasyonlara , özellikle de sonsuz aritylere veya işlevleri argüman olarak alan daha üst düzey operasyonlara izin verilebilir. Bir infinitary işleminin bir örneği, içinde orta noktası cebirlerin Martin Escardo ve Alex Simpson. Bu yönde ileri giderseniz, monadlara ulaşırsınız.$M$

Bu anlamda türlenmemiş hesabı bir cebirdir, çünkü bazı denklemleri ( β ve η ) karşılayan bazı (daha yüksek mertebeden) işlemlerle bir taşıyıcı seti olarak belirtilir .$\lambda$$\beta$$\eta$

Kategori teorisinde bir cebirin ne olduğunun oldukça kesin bir tanımı vardır: örneğin bu makaleye bakın . Sınır değişkenleri olan bir yapının , matematik ve bilgisayar bilimlerinde yaygın olarak kullanılan cebir yapısı terimi ile aynı bağlamda nasıl anlaşılabileceğini anlamak birkaç yıl sürdü ve F-cebirlerinin kategorik kavramının, iki. Çözümün tarihsel yönlerinden emin değilim ama olası bir yaklaşım, Fiore, Plotkin ve Turi ( burada mevcuttur ) tarafından getirilen presheaf cebirleri soruyu çözdü ve farklı ama benzer yaklaşımları teşvik etti, örneğin Hirshowitz ve ark. ve doktora öğrencisi Julianna Zsido .

$\lambda$

"Matematik" kavramının bir "cebir" kavramından daha az iyi tanımlandığı doğru olsa da, geniş olarak "kalkülüs" genel olarak bir hesaplama sürecini ifade ederken, cebirlerin denklem teorileri ile inşa kalıpları vardır.
Cebirlerin yapılar olarak "zaten var olduğu" hissinin daha fazla olduğunu ve daha önce var olmayan yeni cevapları üretmek için bazı yöntemleri kullanmak yerine, sadece onlar hakkındaki gerçekleri ortaya çıkardığımızı söyleyebilirsiniz.

Scott'ın Scott etki alanları ile neyi başarmaya çalıştığını düşünürseniz, ifadesi mantıklıdır: LC için sabit bir anlambilim görevi görecek önceden tanımlanmış matematiksel ve cebirsel yapılar bulmaya çalışıyordu. Bir terimin anlamının belirli bir süreçten çıkan her şey olduğu hissini ortadan kaldırmak istedi.

İlgili bir soru hakkında daha önce verilmiş bir cevapla ilgilenebilirsiniz: Anlamsal anlambilimi neler oluşturur?

$\beta$$\eta$$M$$N$

Scott Hiç bir "cebir" (ki ben daha çok şüphe) matematik çağrı lambda yaptıysa, o zaman, oldukça ince bir noktayı olurdu yani., Bunu yapabilirsiniz bir sahip olarak lamda hesabının düşünüyorum önsel anlam.

Yine de herhangi bir cebirciyi iddiasını ikna etmekte zorlanacaktı, çünkü lambda hesabında denklemleri yok, denklikleri var (yani meta düzeyde). "Kombine cebir" ise oldukça normaldir.

Analiz diye bir şey yoktur , ancak kelimenin birçok faydası olmasına rağmen cebir adı verilen iyi tanımlanmış bir matematik nesnesi vardır . Ancak benim tahminim, isminin

(...) sayı sistemlerinin ve bunların içindeki işlemlerin soyut çalışması.

$\lambda$