Solow Modeli: Kararlı Durum v Dengeli Büyüme Yolu

11

Tamam, bu yüzden bu modeldeki Kararlı Durum kavramı ile dengeli büyüme yolunu birbirinden ayıran gerçek sorunlar yaşıyorum:

Y = K^{β} (A L)^{1 - β}

$Y = K^\beta (AL)^{1-\beta}$

Etkili işçi başına sermaye için kararlı durum değerlerini türetmem istendi:

k^{*} = {(\frac{s}{n + g + δ})}^{\frac{1}{1 - β}}

$k^*=\left(\frac{s}{n+g+ \delta }\right)^{\frac{1}{1-\beta }}$

Sermayenin üretime sabit oranının yanı sıra (K / Y):

\frac{K^{S S}}{Y^{S S}} = \frac{s}{n + g + δ}

$\frac{K^{SS}}{Y^{SS}} = \frac{s}{n+g+\delta }$

Bunların her ikisini de buldum, ama aynı zamanda "sermayenin marjinal ürünü olan dY / dK'nın kararlı durum değerini" bulmam da istendi. İşte yaptığım şey:

Y = K^{β} (A L)^{1 - β}

$Y = K^\beta (AL)^{1-\beta}$

M P K = \frac{d Y}{d K} = β K^{β - 1} (A L)^{1 - β}

$MPK = \frac{dY}{dK} = \beta K^{\beta -1}(AL)^{1-\beta }$

K için sabit durumda ikame (yukarıdaki K / Y oranı için kararlı durum çalışırken hesaplanır):

K^{S S} = A L {(\frac{s}{n + g + δ})}^{\frac{1}{1 - β}}

$K^{SS} = AL\left(\frac{s}{n+g+\delta }\right)^{\frac{1}{1-\beta }}$

M P K^{S S} = β (A L)^{1 - β} {[A L {(\frac{s}{n + g + δ})}^{\frac{1}{1 - β}}]}^{β - 1}

$MPK^{SS} = \beta (AL)^{1-\beta }\left[AL\left(\frac{s}{n+g+\delta }\right)^{\frac{1}{1-\beta }}\right]^{\beta -1}$

M P K^{S S} = β {(\frac{s}{n + g + δ})}^{\frac{β - 1}{1 - β}}

$MPK^{SS} = \beta \left(\frac{s}{n+g+\delta }\right)^{\frac{\beta -1}{1-\beta }}$

Öncelikle MPK'nın kararlı durum değeri için bu hesaplamanın doğru olup olmadığını bilmem gerekir?

İkinci olarak, "aşağıdan" dengeli büyüme yoluna yakınlaşan bir ekonomi için, sermaye-çıktı oranının ve sermayenin marjinal ürününün zaman yollarını çizmemi istedim.

Kararlı durumun aksine, dengeli büyüme yolunun tam olarak ne olduğunu ve bu grafiklerin nasıl görünmesi gerektiğini hesaplamak için hesaplamalarımı nasıl kullanacağımı anlamakta sorunlar yaşıyorum.

Mamut yazı için üzgünüm, herhangi bir yardım büyük beğeni topluyor! Şimdiden teşekkürler.

— James Baker
kaynak

14

Bu, doğruluk girişimi karışıklık ve yanlış anlama yarattığı zamandır.

O günlerde, büyüme modelleri teknolojik ilerlemeyi içermiyordu ve kişi başına sabit büyüklüklerle karakterize edilen uzun dönemli bir dengeye yol açtı . Sözlü olarak, "kararlı durum" terimi böyle bir durumu tanımlamak için uygun görünüyordu.

Daha sonra Romer ve endojen büyüme modelleri ortaya çıktı, bu da eski modelleri rutin bir özellik olarak eksojen büyüme faktörleri (popülasyon dışında) dahil etmeye başlamaya itti. Ve "aniden", kişi başına terimler uzun dönemli dengede sabit değil , sabit bir oranda büyüyordu . Başlangıçta literatür böyle bir durumu "büyüme oranlarında sabit durum" olarak tanımlamıştır.

Sonra meslek kişi başına büyüklükleri büyüyor çünkü burada 'istikrarlı "kelimesini kullanmak yanlış' gibi bir şey düşündük görünür. Ne olur bütün büyüklükleri olmasıdır büyümek bir de dengeli bunların oranları kalır böylece aynı oranda yani oranı (ve Ve büyüdüklerinden beri bir yol izliyorlar ... "Eureka !:" dengeli büyüme yolu "terimi doğdu.

... Örneğin, "eyer yolu" nun gerçekten de Faz diyagramında bir yol olduğunu , ancak "dengeli büyüme yolunun" sadece bir nokta olduğunu hatırlaması gereken öğrencilerin en azından hayal kırıklığına uğraması ! (çünkü gerçekten bir Faz diyagramı çizmek ve iyi bir eski uzun dönemli denge elde etmek için, etkili işçi başına büyüklükleri ifade ederiz ve bu büyüklükler geleneksel bir sabit duruma sahiptir. Ama buna "dengeli büyüme yolu" demeye devam ediyoruz, çünkü bireysel yaklaşımımızda ilgi duyduğumuz kişi başına büyüklükler büyümeye devam ediyor).

Yani "dengeli büyüme yolu" = "işgücü verimlilik birimi başına sabit büyüklük durumu" ve sanırım faz diyagramınız için gerisini anlayabilirsiniz.

— Alecos Papadopoulos
kaynak

4

Önceki cevabın yorumlarına kullanıcı @denesp ile görüşme ardından, aşağıdakileri açıklamak zorunda: Biz temel Solow büyüme modeline ilişkin kullanmak zamanki grafik cihazı (örneğin bkz burada , Şekil 2) bir faz diyagramı değil, makul bir şekilde sıfır-değişim lokusları içeren "faz diyagramları" olarak adlandırdığımızdan, bunların geçiş noktalarını dinamik bir sistemin sabit noktaları olarak belirledik ve kararlılık özelliklerini inceledik. Solow modeli için yaptığımız bu değil. Yani benim açımdan terminolojinin dikkatsiz kullanımıydı.

Yine de Solow büyüme modeli için uzayda bir "yarı-faz diyagramı" çizebiliriz . Sembolleri "işgücü verimlilik birimi başına" olarak anlamak diferansiyel denklemler sistemine sahiptir ( ) $(y,k)$ $y=f(k)$

\dot{k} = s y - (n + δ + g) k

$\dot k = sy - (n+\delta+g)k$

\dot{y} = f_{k}^{'} (k) \cdot \dot{k}

$\dot y = f'_k(k)\cdot \dot k$ Dinamik değişim eğilimlerini göstermek için sıfır değişim denklemini zayıf bir eşitsizlik olarak ,

\dot{k} \geq 0 ⟹ y \geq \frac{n + δ + g}{s} k

$\dot k \geq 0 \implies y \geq \frac {n+\delta+g}{s} k$

\dot{y} \geq 0 ⟹ \dot{k} \geq 0

$\dot y \geq 0 \implies \dot k \geq 0$

Böylece bu sistem tek bir sıfır değişim lokusu, düz bir çizgi verir. Sabit bir noktayı tanımlamak için geçiş noktası yok Ne yapabiliriz? Gerçekte, alanı tek boyutludur, bir alan değil, bir çizgi olduğundan, şemadaki üretim işlevini de çizin . Sonra anlıyoruz $(y,k)$

Dinamik eğilimlerini gösteren yatay / dikey oklar (hem yukarıdaki zayıf eşitsizliklerden düzgün gelip ve zaman sıfır değişim lokusu üzerinde büyürler). Daha sonra, ve noktalı çizgi üzerinde (üretim işlevi olan) hareket etmek için kısıtlandığından, nereden başlarsak başlasak da sabit noktalarına doğru hareket ettikleri anlaşılır. Burada üretim fonksiyon grafiği esasen uzun dönemli dengeye giden yolu temsil eder, çünkü yakınsama monotoniktir. $y$ $k$ $y$ $k$

— Alecos Papadopoulos
kaynak