Bence Barro dipnotta Giovanni ve Weil'in aynı denklemi buldukları anlamına geliyor, , ancak optimal yolunu . , dinamiklerinin dışsal olduğu düşünüldüğünde yaklaşım farklıdır : varsayım yoluyla.Ut=ΦC1−γCtCtCt=Yt
Barro, bir süre uzunluğu 0'a yaklaştığında limit durumunu kullanır. Belki de okuyucuyu rahatsız eden şey modelin ayrık olarak tanımlanmasıdır.
Modeli yeniden yazın
İlk olarak, modeli uzunluğunda yeniden yazabilir ve daha sonra . GDP dinamikleri bilgileri
ile ve , olasılığı ile ve , olasılığı ile . Yardımcı program
δδ→0
log(Yt+δ)=log(Yt)+gδ+ut+δ+vt+δ
ut+δ∼N(0,δσ2)vt+δ=01−pδlog(1−b)pδUt=11−γ{C1−θt+11+ρδ[(1−γ)EtUt+δ]1−θ1−γ}1−γ1−θ.
1) işleviniΦEt[(Ct+δCt)1−γ]
Şu andan itibaren bir olduğunu varsayalım ki ( , a bağlıdır ). Tanımlama , yardımcı tatmin
yerine :
Bu nedenle, için elde ederiz ,
ΦUt=ΦC1−γΦδH(U)=[(1−γ)U]1−θ1−γ
H(Ut)=C1−θt+11+ρδH(EtUt+δ).
UtH(Φ)C1−θt=C1−θt+11+ρδH(Φ)(Et[C1−γt+δ])1−θ1−γ.
Ct≠01H(Φ)=1−11+ρδ(Et[(Ct+δCt)1−γ])1−θ1−γ.
2) bulunEt[(Ct+δCt)1−γ]
İşin püf noktası, sağ tarafta GSYİH dinamiklerinden beklentiyi bulmak.
beklenti alma arasındaki bağımsızlık kullanılarak ve , aşağıda belirtildiği
beklentisi burada aşağıda olduğu
(Yt+δYt)1−γ=exp((1−γ)gδ).exp((1−γ)ut+δ).exp((1−γ)vt+δ).
ut+1vt+1Et(Yt+δYt)1−γ=exp((1−γ)gδ).Etexp((1−γ)ut+δ).Etexp((1−γ)vt+δ).
exp(X)XN(0,σ2)exp(σ2/2) . bir rastgele değişken eşittir olasılığı ile ve olasılığı ile . Beklenti operatörünün yerini alıyoruz:
Son olarak, için bir denklem hesaplamak için kullanıyoruz :
exp((1−γ)vt+δ)11−pδ(1−b)1−γpδEt(Yt+δYt)1−γ=exp((1−γ)gδ).exp((1−γ)2σ2δ2).(1−pδ+pE[(1−b)1−γ]δ).
Ct=YtΦ1H(Φ)=1−11+ρδ{exp((1−θ)gδ).exp((1−γ)(1−θ)σ2δ2).(1−pδ+pE[(1−b)1−γ]δ)1−θ1−γ}.
3)δ→0
Son adım, birinci dereceden bir yaklaşımın alınmasından oluşur (eşit derecede sembolü eşit olarak saklıyorum):
Birinci dereceden onaylamayı takiben ( ile tüm ihmal edilebilir),
Yedek kullanılarak
1H(Φ)=1−(1−ρδ).(1+(1−θ)gδ).(1+(1−γ)(1−θ)σ2δ2).(1−1−θ1−γpδ+1−θ1−γpE[(1−b)1−γ]δ).
δii>11H(Φ)=ρδ−(1−θ)gδ−(1−γ)(1−θ)σ2δ2+1−θ1−γpδ−1−θ1−γpE[(1−b)1−γ]δ.
gg∗=g+σ22−pEb ,
Biz almak ve işlev ters kağıt dipnot 7'de çözüm bulmak için. Bu denklemin sağ tarafı formülde bulunan parantezleri "basitleştirir".
1H(Φ)=ρδ−(1−θ)g∗δ+(1−θ)σ22δ−(1−θ)pEbδ−(1−γ)(1−θ)σ2δ2+1−θ1−γpδ−1−θ1−γpE[(1−b)1−γ]δ.
δ=1H