Barro'nun (2009) AER'deki nadir afet modeli: Denklem nasıl elde edilir (10)?

Barro'da (2009) Nadir felaketler, varlık fiyatları ve refah maliyetleri Barro, Epstein-Zin tercihleri ​​ile bir Lucas ağacı modeli geliştirir.

Sorum şu makalenin denklemiyle ilgilidir (10). Bu denklemde Barro, optimal çözüm yardımcı programı altında gücüyle karıştırılan tüketim ile orantılı olduğunu ; burada , nispi riskten kaçınma katsayısıdır, yani$U_t$$C_t$$1-\gamma$$\gamma$

$U_t=\Phi C_t^{1-\gamma}$

Bu sonucun mantığını anlasam da , belirtilen makalenin dipnot 7'sinde gösterilen sabitini nasıl elde ettiğini anlamıyorum :$\Phi$

Alberto Giovannini ve Philippe Weil (1989, ek), denklem (9) 'daki fayda fonksiyonu ile ulaşan fayda, gücüne yükseltilen servetle orantılı olduğunu göstermektedir . Denklem (10) 'daki form takip eder, çünkü , iid durumunda servete sabit bir oran olarak en uygun şekilde seçilir. formülü , ,$U_t$$1-\gamma$$C_t$$\Phi$$\gamma \neq 1$ $\theta \neq 1$

$$\Phi = (\frac{1}{1-\gamma})\{\rho+(\theta-1)g^* - (1/2)\gamma(\theta -1)\sigma^2 - (\frac{\theta-1}{\gamma-1})p[E(1-b)^{1-\gamma} - 1 - (\gamma - 1)Eb] \}^{(\gamma-1)/(1-\theta)}$$

Barro, Giovannini ve Weil'in 1989 NBER gazetesinden alıntılar. Bu makalede sabiti türetebilirim. Ancak, sürümünden tamamen farklı görünüyor, çünkü içeren bir ifade ile sonlandırıyorum , burada özkaynak getirisidir. I Barro ikame inanıyoruz denge çözeltisi ile . Ancak, ifadesi herhangi bir günlük veya exp ifadesi içermez.$E[R_t^{1-\gamma}]$$R_t$$E[R_t^{1-\gamma}]$$R_t$

Bir çözüm veya çözüme ilişkin herhangi bir ipucu için minnettar olurum.

Bence Barro dipnotta Giovanni ve Weil'in aynı denklemi buldukları anlamına geliyor, , ancak optimal yolunu . , dinamiklerinin dışsal olduğu düşünüldüğünde yaklaşım farklıdır : varsayım yoluyla.$U_t=\Phi C^{1-\gamma}$$C_t$$C_t$$C_t=Y_t$

Barro, bir süre uzunluğu 0'a yaklaştığında limit durumunu kullanır. Belki de okuyucuyu rahatsız eden şey modelin ayrık olarak tanımlanmasıdır.

Modeli yeniden yazın

İlk olarak, modeli uzunluğunda yeniden yazabilir ve daha sonra . GDP dinamikleri bilgileri ile ve , olasılığı ile ve , olasılığı ile . Yardımcı program $\delta$$\delta\to 0$

$$\log(Y_{t+\delta})=\log(Y_t)+g\delta+u_{t+\delta}+v_ {t+\delta}$$ $u_{t+\delta}\sim \mathcal{N}(0,\delta\sigma^2)$$v_{t+\delta}=0$$1-p\delta$$\log(1-b)$$p\delta$ $$U_t=\frac{1}{1-\gamma}\left\lbrace C_t^{1-\theta}+\frac{1}{1+\rho\delta}\left[(1-\gamma)E_tU_{t+\delta}\right]^\frac{1-\theta}{1-\gamma}\right\rbrace^\frac{1-\gamma}{1-\theta}.$$

1) işlevini$\Phi$$E_t\left[\left(\frac{C_{t+\delta}}{C_t}\right)^{1-\gamma}\right]$

Şu andan itibaren bir olduğunu varsayalım ki ( , a bağlıdır ). Tanımlama , yardımcı tatmin yerine : Bu nedenle, için elde ederiz , $\Phi$$U_t=\Phi C^{1-\gamma}$$\Phi$$\delta$$H(U)=[(1-\gamma)U]^\frac{1-\theta}{1-\gamma}$

$$\begin{align} H(U_t)= C_t^{1-\theta}+\frac{1}{1+\rho\delta}H(E_tU_{t+\delta}). \end{align}$$ $U_t$ $$\begin{align} H(\Phi)C_t^{1-\theta}= C_t^{1-\theta}+\frac{1}{1+\rho\delta}H(\Phi)\left(E_t\left[C_{t+\delta}^{1-\gamma}\right]\right)^\frac{1-\theta}{1-\gamma}. \end{align}$$ $C_t\neq 0$ $$\begin{align} \frac{1}{H(\Phi)}= 1-\frac{1}{1+\rho\delta}\left(E_t\left[\left(\frac{C_{t+\delta}}{C_t}\right)^{1-\gamma}\right]\right)^\frac{1-\theta}{1-\gamma}. \end{align}$$

2) bulun$E_t\left[\left(\frac{C_{t+\delta}}{C_t}\right)^{1-\gamma}\right]$

İşin püf noktası, sağ tarafta GSYİH dinamiklerinden beklentiyi bulmak. beklenti alma arasındaki bağımsızlık kullanılarak ve , aşağıda belirtildiği beklentisi burada aşağıda olduğu

$$\begin{align} \left(\frac{Y_{t+\delta}}{Y_t}\right)^{1-\gamma}= \exp\left((1-\gamma)g\delta\right).\exp\left((1-\gamma)u_{t+\delta}\right).\exp\left((1-\gamma)v_ {t+\delta}\right). \end{align}$$ $u_{t+1}$$v_{t+1}$ $$\begin{align} E_t\left(\frac{Y_{t+\delta}}{Y_t}\right)^{1-\gamma}= \exp\left((1-\gamma)g\delta\right).E_t\exp\left((1-\gamma)u_{t+\delta}\right).E_t\exp\left((1-\gamma)v_ {t+\delta}\right). \end{align}$$ $\exp(X)$$X$$\mathcal{N}(0,\sigma^2)$$\exp(\sigma^2/2)$ . bir rastgele değişken eşittir olasılığı ile ve olasılığı ile . Beklenti operatörünün yerini alıyoruz: Son olarak, için bir denklem hesaplamak için kullanıyoruz : $\exp\left((1-\gamma)v_ {t+\delta}\right)$$1$$1-p\delta$$(1-b)^{1-\gamma}$$p\delta$ $$\begin{align} E_t\left(\frac{Y_{t+\delta}}{Y_t}\right)^{1-\gamma}= \exp\left((1-\gamma)g\delta\right).\exp\left(\frac{(1-\gamma)^2\sigma^2\delta}{2}\right).\left(1-p\delta+pE[(1-b)^{1-\gamma}]\delta\right). \end{align}$$ $C_t=Y_t$$\Phi$ $$\begin{align} \frac{1}{H(\Phi)}&= 1-\frac{1}{1+\rho\delta}\left\lbrace\exp\left((1-\theta)g\delta\right).\exp\left(\frac{(1-\gamma)(1-\theta)\sigma^2\delta}{2}\right)\right.\\ &\left. .\left(1-p\delta+pE[(1-b)^{1-\gamma}]\delta\right)^\frac{1-\theta}{1-\gamma}\right\rbrace. \end{align}$$

3)$\delta\to 0$

Son adım, birinci dereceden bir yaklaşımın alınmasından oluşur (eşit derecede sembolü eşit olarak saklıyorum): Birinci dereceden onaylamayı takiben ( ile tüm ihmal edilebilir), Yedek kullanılarak

$$\begin{align} \frac{1}{H(\Phi)}&= 1-(1-\rho\delta). \left(1+(1-\theta)g\delta\right).\left(1+\frac{(1-\gamma)(1-\theta)\sigma^2\delta}{2}\right)\\ & .\left(1-\frac{1-\theta}{1-\gamma}p\delta+\frac{1-\theta}{1-\gamma}pE[(1-b)^{1-\gamma}]\delta\right). \end{align}$$ $\delta^i$$i>1$ $$\begin{align} \frac{1}{H(\Phi)}&= \rho\delta -(1-\theta)g\delta-\frac{(1-\gamma)(1-\theta)\sigma^2\delta}{2}\\ & +\frac{1-\theta}{1-\gamma}p\delta-\frac{1-\theta}{1-\gamma}pE[(1-b)^{1-\gamma}]\delta. \end{align}$$ $g$$g^*=g+\frac{\sigma^2}{2}-pEb$ , Biz almak ve işlev ters kağıt dipnot 7'de çözüm bulmak için. Bu denklemin sağ tarafı formülde bulunan parantezleri "basitleştirir". $$\begin{align} \frac{1}{H(\Phi)}&= \rho\delta -(1-\theta)g^*\delta+(1-\theta)\frac{\sigma^2}{2}\delta -(1-\theta)pEb\delta -\frac{(1-\gamma)(1-\theta)\sigma^2\delta}{2}\\ & +\frac{1-\theta}{1-\gamma}p\delta-\frac{1-\theta}{1-\gamma}pE[(1-b)^{1-\gamma}]\delta. \end{align}$$ $\delta=1$$H$