Martingale, rastgele yürüyüş ve rasyonel beklentiler

Bu kavramlar arasındaki bağlantı nedir?

Örneğin, $ Z_n $ 'a rastgele bir yürüyüş izleyen bir işlem yapalım.

1. Bu bir martingale, çünkü yarının beklentilerim, yani n + 1 sadece bugüne bağlı
2. Eğer rasyonel beklentileri olan bir kişiyi kabul edersek, yarının tahmininin bugün olduğunu varsayar.

Başka bir deyişle, rasyonel bir bireyin öngörüsü bir martingale mi geçiyor?

Bir kavram finansta, diğeri ise ekonomide kullanıldığı için farktan emin değilim, fakat bunlar bana göre aynı görünüyor.

Son olarak, rastgele bir yürüyüşün bir martingeli ima ettiğini örnekte gördüm, bu her zaman doğru mu? Bir martingale rastgele bir yürüyüş anlamına mı gelir?

Ekonomi'de tüm kavramlar kullanılmaktadır. Tanımlar (tamamen titiz bir şekilde belirtilmemiştir):

Martingale: Stokastik bir işlem $ \ {X_t \} $ "martingale" olarak adlandırılır ve eğer sadece

$$ E (X_ {t + 1} \ orta X_t, X_ {t-1}, ...) = X_t \ etiketi {1} $$

"Alt martingale", "süper martingale" gibi uzantılar vardır, ancak temel tanım yukarıdaki gibidir.

Rastgele yürüyüş : Stokastik bir işlem $ \ {X_t \} $, "eğer ve eğer sadece

$$ X_ {t + 1} = X_t + u_ {t + 1}, \; \; \; u_t \ sim \ text {Beyaz Gürültü} \ etiketi {2} $$

ve "Beyaz Gürültü" tanımına bakabilirsiniz.

Burada da spin-off'lar var ("drift ile rastgele yürüyüş" vb.).

Yorum: rastgele bir yürüyüşün (bir örnekte) bir martingale olduğunu izler, ancak bir martingale rastgele bir yürüyüş anlamına gelmez, birincisi daha geniş bir kavramdır.

Rasyonel Beklentiler : Başlangıçta, rasyonel beklentiler hipotezi belirtti toplam beklenti bir bilinmeyen (genellikle gelecekteki) değerine toplam rastgele değişken ( konuyla ilgili bu yazıya da bakınız ), bu değişkenin koşullu beklentisine (titiz matematiksel anlamda) eşittir "beklentiyi oluşturma anındaki tüm ilgili bilgileri

$$ X ^ e_ {t + k | t} = E (X_ {t + k} \ orta I_t) \ etiketi {3} $$

Yorum: Bir martingale durumunda ayarlanan şartlandırmanın sadece prosesin geçmiş değerlerini içerdiğini unutmayın. REH durumunda ayarlanan şartlandırma "mevcut olan ve uygun görülen şeyleri" içerir.

Temsilci bir temsilci modelinde, içsel metodolojik tutarlılık için, Rasyonel Beklentiler Hipotezini bireysel düzeyde uygulamak zorundayız (bir bilginin mevcudiyeti ve bireyin bilgi işleme kısıtlamaları ile ilgili her türlü geçerli itirazda bulunan bir şey). .

Peki bir bireyin öngörüleri bir martingale takip ediyor mu? Bunu yalnızca bir adım ilerideki tahminler için inceleyelim: Stokastik sürecimiz

$$ \ {X ^ e_ {t + 1 | t}, \, X ^ e_ {t + 2 | t + 1}, ... \} = \ {S , \, E (X_ {t + 2} \ orta I_ {t + 1}), ... \} \ tag {4} $$

Martingale mülkünü elde etmek için bunu elinde tutması gerekir

$$ E [X ^ e_ {t + 1 | t} \ orta X ^ e_ {t | t-1}, X ^ e_ {t-1 | t-2}, ...] =? \; X ^ e_ {t | t-1} \ tag {5} $$ (Sonunda beklentilerin ne yaptığını söyleyeceğim. $ (5) $

$$ E [X ^ e_ {t + 1 | t} \ orta X ^ e_ {t | t-1}, X ^ e_ {t-1 | t-2}, ...] = E [E (X_ {t + 1} \ orta I_t) \ orta \ {E (X_ {t} \ orta I_ {t-1}), E (X_ {t-1} \ orta I_ {t-2}), ... \}] $$

Daha önce açıklandığı gibi, dış klima seti iç klima setinden daha küçüktür. Koşullu Beklentinin Tekrarlanan Beklentileri Yasası (Kule özelliği) ile daha sonra

$$ E [E (X_ {t + 1} \ orta I_t) \ orta \ {E (X_ {t} \ orta I_ {t-1}), E (X_ {t-1} \ orta I_ {t- 2}), ... \}] = E [X_ {t + 1} \ mid \ {E (X_ {t} \ orta I_ {t-1}), E (X_ {t-1} \ orta I_ {t-2}), ... \}] \ tag {6} $$

$ (6) $ 'ın sağ tarafı, mutlaka $ (5) $' ın sağ tarafına eşit değildir; yapamam Rasyonel Beklentiler Hipotezi altında bir adım ileriye dönük tahminlerin stokastik sürecinin bir martingale olduğunu söylüyorlar.

$ (5) $ denklemi şu durumu açıklar: $ t-1 $ döneminde duran $ X ^ e_ {t | t-1} $ beklentisini oluştururuz ve "söyleyebileceğimiz en iyi" (en iyi ihtimalle- kare-hata duygusu) sonraki beklentimiz hakkında $ X ^ e_ {t + 1 | t} $, $ X ^ e_ {t | t-1} $ değerine eşit olacaktır. Buna (bazen) "statik beklentiler" denir, ancak dikkatli olun, çünkü terimin literatürde iki farklı anlamı vardır: bazı yazarlar için, örneğin. $ (5) $, beklentinin değerinin değişmeden kalması (veya kalması bekleniyor) anlamında "statik" beklentileri temsil eder. Ancak, genellikle “statik beklentiler” terimini yazan yazarları bulacaksınız. ve tamamen farklı bir şey demek , yani $ E (X_ {t + 1} \ orta I_t) = X_t $ ("ne olacak"). Bu sırayla görünüyor martingale özelliği gibi ama en iyi ihtimalle onun için genişletilmiş bir konsepttir (çünkü şartlandırma seti daha büyüktür) ve her durumda, martingale benzeri bir özelliktir. Asıl işlem ile ilgili olarak $ \ {X_t \} $ , ve değil Tahminler-işlemi $ \ {X ^ e_ {t + 1 | t} \} $.

Martingale çok geniş bir terimdir, bazen sadece temel olarak "gelecek bugün şartlandırılmış bağımsızdır" anlamına gelir. Tabii ki, herhangi bir rastgele yürüyüş bu özelliğe sahiptir. Markov zincirleri de öyle.

"Martingale" aynı zamanda genellikle zamanla değişen, ancak beklentileri daima mevcut değerine eşit olan gerçek değerli bir rastgele değişkeni de ifade eder. Tarafsız rastgele bir yürüyüş de bunu tatmin eder, çünkü rastgele yürüyüşün şu anki konumu $ x $ iken, $ 50 $ adımından sonra beklenen konum hala $ x $ 'dır. Bir Markov zincirinin genel olarak bu özellik ile nasıl ilişkili olduğunu görmek zordur, çünkü durum alanı gerçek sayılar olmayabilir.

Doob martingale fikri, bu iki durumun hemen hemen aynı olduğu: ne zaman geleceğin şimdiki koşulda bağımsız olduğu Markov-zincir tipi bir yapıya sahipseniz ve $ X_t $ olan gerçek değerli rastgele bir değişkeniniz varsa zamanla değişerek, yeni bir rasgele değişken oluşturabilirsiniz $ Y_t = \ mathbb {E} [X_T | X_t] $, burada $ T $, işlemin durduğu zamandır. Şimdi şartlı bağımsızlık ile, $ Y_t $ bir martingale.

Sonunda, bir Bayesian ajanının rastgele bir değişkene olan beklentisi zaman içinde yeni bilgiler aldığı için bir martingaledir. Bunu görmek için iki aşamalı bir işlemi göz önünde bulundurun: Aracı $ Z $ üzerindeki önceden bir dağıtımla başlar, sonra $ A $ sinyalini alır ve $ Z $ üzerindeki bir posterior güncellemesi yapar. Doğal olarak, posterior $ \ mathbb {E} [Z \ mid A] $ olacaktır. Ancak önceki sadece $ \ mathbb {E} Z $ olacak ve yinelenen beklenti kanunu şöyle diyor:  $$ \ mathbb {E} _A \ sol [\ mathbb {E} _Z [A \ orta A] \ sağ] = \ mathbb {E} Z. $$ Beklentinin tanımını kullanarak kendiniz için çalışarak bunu görebilirsiniz.