Tüketici Teorisi (Talep fonksiyonlarını bulma)

Sally’nin yiyecek içeren sepetler (iyi $ x $) ve kıyafetlerin (iyi $ y $) tercihlerinin $ u (x, y) = \ sqrt {x} + y $ yardımcı programı tarafından tanımlandığını varsayalım. Sally’nin ilgili marjinal faydaları, 1 MU $ _x = \ frac {1} {2 \ sqrt {x}} $ ve MU $ _y = 1 $. Yiyeceklerin fiyatını göstermek için $ p_x $, kıyafetlerin fiyatını göstermek için $ p_y $ ve Sally’nin gelirini temsil etmek için $ I $ kullanın.

Soru 1: Sally’nin yiyecek talebi işlevini ve Sally’nin giysi talebi işlevini bulun. Bu sorunun amaçları için $ I / p_y \ geq p_y / (4p_x) $ olduğunu varsaymalısınız.

Bu sorunun nasıl çözüleceğini bulmak için gerçekten zor bir zaman geçiriyorum ve her türlü yardım çok makbule geçecek.

Veriler göz önüne alındığında:

• Yardımcı işlev: $ u (x, y) = \ sqrt {x} + y $
• Gelir: $ I & gt; 0 $
• Fiyatlar: $ p_X & gt; 0 $ ve $ p_Y = 1 $

Fayda maksimizasyonu sorunu

\ begin {eqnarray *} \ max \ sınırlar_ {x, y} & amp; \ \ \ sqrt {x} + y \\ \ text {s.t.} & amp; \ \ p_Xx + y = I \\ \ text {ve} & amp; \ \ x \ geq 0, \ \ y \ geq 0 \ end {eqnarray *} Hedefe $ y = I - p_Xx $ yazıp tek değişkenli optimizasyon problemine dönüştürebiliriz: \ begin {eqnarray *} \ max \ sınırlar_ {x} & amp; \ \ \ sqrt {x} + I- p_Xx \\ \ text {s.t.} & amp; 0 \ leq x \ leq \ frac {I} {p_X} \ end {eqnarray *} Hedefi $ x $ getirilerine göre ayırt etmek: $ \ frac {1} {2 \ sqrt {x}} - p_X $ Bu, x x $ 'ın azalan bir işlevidir. Türevin yorumlanması, X'in tüketilmesinin net marjinal fayda eğrisi olduğu şeklindedir. Türevin değeri pozitif olduğu sürece, X'e daha fazla harcama yapmak öder. Bu nedenle, fayda maksimize etme seçeneği tüm parayı harcamak olacaktır. Net marjinal fayda eğrisi $ x = \ frac {I} {p_X} $ yani $ \ frac {1} {2} \ sqrt {\ frac {p_X} {I}} - p_X & gt; 0 $ tutar ve denge seçimi aksi takdirde $ \ frac {1} {2 \ sqrt {x}} - p_X = 0 $ özelliğini sağlar. Yani, X için talep fonksiyonu şudur: $ \ begin {eqnarray *} x (p_X, p_Y = 1, I) = \ begin {cases} \ frac {1} {4p_X ^ 2} & amp; \ text {if} \ frac {1} {2} \ sqrt {\ frac {p_X} {I}} - p_X \ leq 0 \\ \ frac {I} {p_X} & amp; \ text {if} \ frac {1} {2} \ sqrt {\ frac {p_X} {I}} - p_X & gt; 0 \ end {cases} \ end {eqnarray *} $

Öncelikle, fayda fonksiyonunuz her iki malda da kesinlikle artıyor, yani bütçenizin bağlanacağını biliyorsunuzdur, böylece I = pxx + pyx

İkincisi, fayda fonksiyonunuz “quasilinear” olarak bilinir, burada y'niz faydalarınızda lineerdir ve diğeri de y'ye bağlı olmayan artan bir fonksiyonda vardır. Bu yüzden y'nin marjinal faydası sadece bir sabittir.

Son olarak, x'in fiyatların bir işlevi olduğu x için çözün, ardından bunu y için çözmek üzere bütçe kısıtlamasına dahil edin. Y fiyatların ve gelirin bir fonksiyonu olmalıdır.

Bazı işler gösterdiğinden beri:

MU oranını fiyat oranına ayarlayın: $ MU_x / MU_y = p_x / p_y $, $ x = \ frac {p_y ^ 2} {4p_x ^ 2} $ için bir talep sağladı

Şimdi bunu bütçeye ekleyin, $ y talebini sağlayın = \ frac {I} {p_y} - \ frac {p_y} {4p_x} $