aynı ortalama olmadan ikinci dereceden stokastik hakimiyet

İzin Vermek $F$ ve $G$ aynı ortalamaya sahip iki dağılım. $F$ ikinci sıraya stokastik olarak egemen olduğu söylenir ( SOSD ) $G$ Eğer

\begin{matrix} (1) & \int u (x) d F (x) \geq \int u (x) d G (x) \end{matrix}

$\int u(x)\mathrm dF(x)\ge \int u(x)\mathrm dG(x)\tag{1}$ tüm artan ve içbükey için

u (\cdot)

$u(\cdot)$ .

Yukarıdaki tanım şuna eşdeğerdir:

\begin{matrix} (2) & \int_{- \infty}^{x} F (t) d t \leq \int_{- \infty}^{x} G (t) d t, \forall x \in R . \end{matrix}

$\int_{-\infty}^x F(t)\mathrm dt\le \int_{-\infty}^xG(t)\mathrm dt,\qquad\forall x\in\mathbb R.\tag{2}$

Bana bunun için $F$ ve $G$ aynı ortama sahip olmak gerçekten gerekli değildir. varsaymak $F$ ve $G$ do not aynı ortalamaya sahip. O zaman hala arasındaki denkliğe sahip olabilir miyiz $(1)$ ve $(2)$ ?

Not: Gösterebildim $(2)\Rightarrow (1)$ aynı ortalama koşul olmadan, ama tam tersi değil.

microeconomics probability

— Herr K.
kaynak

İzin Vermek $u(x) = x$ artan ve içbükey olan. Sonra SOSD'un belirleyici koşulu şu şekildedir:

\begin{matrix} (1) & \int x d F (x) \geq \int x d G (x) ⟹ E_{F} (X) \geq E_{G} (X) \end{matrix}

$\int x\mathrm dF(x)\ge \int x\mathrm dG(x) \implies E_F(X) \geq E_G(X) \tag{1}$

.. dava ile çelişen $E_F(X) < E_G(X)$ buna genel bir "farklı yol" varsayımı altında izin verilebilir. Öte yandan, "aynı ortalama" koşulun, SOSD'un tanımlayıcı koşulu tarafından ihlal edilebildiğini görüyoruz. Bu bize ne anlatıyor?

1) Bu $E_F(X) \geq E_G(X)$ Bir olan gerekli koşul için $F$ SOSD'a $G$ .

2) ... Ve böylece " $F$ ve $G$ aynı anlama sahip olmak "SOSD kavramının uygulanmasını yanlış bir şekilde kısıtlar.

— Alecos Papadopoulos
kaynak