Prescott'un orijinal RBC modelinde oluşturulacak zaman formülasyonu ile nasıl baş edilir?

Bu yüzden, Prescott'un kararlı durumdaki optimallik koşullarını şoksuz olarak ortaya çıkaran orijinal makalesinin 4. bölümünde elde edilen sonuçları tekrar ediyordum . Sosyal planlamacının maksimizasyon problemini Lagrange metodunu kullanarak çözmeyi umuyorum.

Prescott'un modelinde önemli bir özellik, sermayenin çok sayıda dönemde inşa edilmesi ve her projenin, her bir orta dönemde, bir çıktının bir kısmına mal olması. Benim sorum şu ki, bu kısıtlamayı Lagrangian'da nasıl formüle edeceğimi, böylece FOC denklem sistemini nasıl çözebileceğimi? İşte şimdi sahip olduğum şey: nerede

\begin{matrix} L = \sum_{t = 0}^{\infty} β^{t} u (c_{t}, α (L) l_{t}) - \sum_{t = 0}^{\infty} λ_{1 t} (k_{t + 1} - (1 - δ) k_{t} - s_{1 t}) - \sum_{t = 0}^{\infty} λ_{2 t} (i_{t} - \sum_{j = 1}^{J} φ_{j} s_{j t} + y_{t + 1} - y_{t}) \\ - \sum_{t = 0}^{\infty} λ_{3 t} (c_{t} + i_{t} - f (λ_{t}, k_{t}, n_{t}, y_{t})) - \sum_{t = 0}^{\infty} \sum_{j = 1}^{J - 1} [λ_{j + 3, t} (\sum_{t = 0}^{\infty} s_{j, t + 1} - s_{j + 1, t})] \end{matrix}

$\begin{multline} \mathcal{L}=\sum_{t=0}^\infty\beta^tu(c_t,\alpha(L)l_t) -\sum_{t=0}^\infty\lambda_{1t} \left( k_{t+1} - (1-\delta)k_t-s_{1t}\right) -\sum_{t=0}^\infty\lambda_{2t}\left(i_t-\sum_{j=1}^J \varphi_j s_{jt}+y_{t+1}-y_{t}\right) \\ -\sum_{t=0}^\infty\lambda_{3t}\left(c_t+i_t- f(\lambda_t,k_t,n_t,y_t)\right) -\sum_{t=0}^\infty\sum_{j=1}^{J-1}\left[\lambda_{j+3,t}\left(\sum_{t=0}^\infty s_{j,t+1}-s_{j+1,t}\right)\right]\\ \end{multline}$

s_{j, t}

$s_{j,t}$ zamanından itibaren tamamlanması daha uzun süren bir yatırım projesidir ve , zamanındaki envanter . Bu sorunun amacı, gecikmeli polinom 'yi görmezden gelelim ve üzerinde etkisinin olduğunu . Not eğlence ve olduğu zaman yanında 1'e normalize edilir emek girişidir, çıkış envanter, tüketim ve sermaye projelerine gider. Aşağıdaki ikameleri kullanmayı denedim:

j

$j$

t

$t$

y_{t}

$y_t$

t

$t$

α (L)

$\alpha(L)$

l_{t}

$l_t$

l_{t}

$l_t$

1 - l_{t} = n_{t}

$1-l_t=n_t$

\begin{aligned} k_{t + 1} & = (1 - δ) k_{t} + s_{J, t - (J - 1)} \\ i_{t} & = (\sum_{j = 1}^{J} φ_{j} s_{J, t - (J - j)}) + y_{t + 1} - y_{t} \end{aligned}

$\begin{align} k_{t+1} &= (1-\delta)k_t + s_{J,t-(J-1)}\\ i_t&=\left(\sum_{j=1}^J \varphi_j s_{J,t-(J-j)}\right)+y_{t+1}-y_{t} \end{align}$ bu da son terimden kurtulmamı sağlıyor . Ancak hala bir ilerleme kaydediyor gibi görünmüyorum. Bana çılgınca maceracımın formülasyonu ve FOC’ların bana istikrarlı tüketim, sermaye stoğu vermesi hakkında önerilerde bulunacak olursanız harika olacak.

L

$\mathcal{L}$

EDIT: Çok sayıda çevrimiçi ders notu denedim, ancak hiçbiri Prescott’un formülasyon oluşturma zamanıyla ve bununla ilgilenmek istemiyor gibi görünüyor ...

— Kun
kaynak

Bu dinamik programlama problemini çözmek için Bellman yöntemini kullanmamanızın bir nedeni var mı? Bir Lagrangiyen yasaklayan zaman alıcı görünüyor ...

— Kitsune Süvari

Aslında @KitsuneCavalry, bellman yönteminin nasıl kullanılacağını bilmiyorum ...

— Kun

Anlıyorum. O zaman çok zamanım olursa bu soruya geri dönebilirim.

— Kitsune Süvari

@KitsuneCavalry Sanırım tüm yatırım projelerinin yeniden boyutlandırılmasıyla lagganı çözdüm. Çalışmamı kontrol eder misin lütfen? Teşekkürler!

— Kun

Tüm yatırım projelerini biçiminde yeniden indeksleyerek , aşağıdaki iki eşdeğer kısıtlamayı alıyorum: Dolayısıyla, en üst düzeye çıkarma sorunu için Lagrangian $s_{J,t}$

\begin{aligned} c_{t} + y_{t + 1} - y_{t} & \leq f (k_{t}) - \sum_{i = 1}^{\infty} φ_{j} s_{J, t - (J - j)} \\ k_{t + 1} & = (1 - δ) k_{t} + S_{J, t - (J - 1)} \end{aligned}

$\begin{align} c_t+y_{t+1}-y_t&\leq f(k_t)-\sum_{i=1}^\infty\varphi_j s_{J,t-(J-j)} % Resource Constraint \\ k_{t+1}&=(1-\delta)k_t+S_{J,t-(J-1)} %Law of motion for capital formation \end{align}$

\begin{matrix} L = \sum_{t = 0}^{\infty} β^{t} u (c_{t}, 1 - α_{0} n_{t} - η (1 - α_{0}) a_{t}) - \sum_{t = 0}^{\infty} λ_{1 t} (c_{t} + y_{t + 1} - y_{t} + \sum_{i = 1}^{\infty} φ_{j} s_{J, t - (J - j)} - f (k_{t})) \\ - \sum_{t = 0}^{\infty} λ_{2 t} (k_{t + 1} - (1 - δ) k_{t} - S_{J, t - (J - 1)}) - \sum_{t = 0}^{\infty} λ_{3 t} (a_{t + 1} - (1 - η) a_{t} - n_{t}) \end{matrix}

$\begin{multline} \mathcal{L} = \sum_{t=0}^\infty\beta^tu\left(c_t,1- \alpha_0n_t - \eta(1-\alpha_0) a_t\right) %Objective Function - \sum_{t=0}^\infty\lambda_{1t}\left(c_t+y_{t+1}-y_t+\sum_{i=1}^\infty\varphi_j s_{J,t-(J-j)}-f(k_t)\right) % Resource Constraint \\ - \sum_{t=0}^\infty\lambda_{2t}\left(k_{t+1}-(1-\delta)k_t-S_{J,t-(J-1)}\right) %Law of motion for capital formation - \sum_{t=0}^\infty\lambda_{3t} \left(a_{t+1}-(1-\eta)a_t-n_{t}\right) % Law of motion for past leisure \end{multline}$ süre içinde durum değişkenleri olan ve zaman karar değişkenler olan . Tüm kısıtlamaların bağlanması gerektiğini görmek kolaydır. Gerekli koşullar

t

$t$

a_{t}, k_{t}, y_{t}

$a_t, k_t, y_t$

t

$t$

c_{t}, n_{t}, s_{J t}, y_{t + 1}

$c_t, n_t, s_{Jt}, y_{t+1}$

\begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial c_{t}} = 0 ⟹ β^{t} \frac{\partial u}{\partial c_{t}} = λ_{1 t} \\ \frac{\partial L}{\partial s_{J, t}} = 0 ⟹ \sum_{i = 1}^{J} λ_{1, t + J - i} φ_{i} = λ_{2, t + J - 1} \\ \frac{\partial L}{\partial k_{t}} = 0 ⟹ λ_{1 t} \frac{\partial f}{\partial k_{t}} + λ_{2 t} (1 - δ) = λ_{2, t - 1}, \end{aligned}

$\begin{align} &\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial c_t} =0\implies \beta^t \frac{\partial u}{\partial c_t}=\lambda_{1t} \\ &\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial s_{J,t}} =0\implies \sum_{i=1}^J\lambda_{1,t+J-i}\varphi_i=\lambda_{2,t+J-1} \\ &\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial k_t}=0\implies \lambda_{1t}\frac{\partial f}{\partial k_t}+\lambda_{2t}(1-\delta)=\lambda_{2,t-1}, \end{align}$ olan tüm . 14, 15, 16'yı birleştirip sadeleştirmeyi birleştirerek, Kararlı durumda,

t

$t$

\frac{\partial u}{\partial c_{t}} \frac{\partial f}{\partial k_{t}} + (1 - δ) \sum_{i = 1}^{J} β^{1 - i} \frac{\partial u}{\partial c_{t + 1 - i}} φ_{i} = β^{- 1} \sum_{i = 1}^{J} β^{1 - i} \frac{\partial u}{\partial c_{t - i}} φ_{i}

$\begin{equation} \frac{\partial u}{\partial c_t}\frac{\partial f}{\partial k_t} + (1-\delta)\sum_{i=1}^J\beta^{1-i} \frac{\partial u}{\partial c_{t+1-i}}\varphi_i = \beta^{-1}\sum_{i=1}^J\beta^{1-i} \frac{\partial u}{\partial c_{t-i}}\varphi_i \end{equation}$

\frac{\partial u}{\partial c_{t}} = \frac{\partial u}{\partial c_{t^{'}}}

$\frac{\partial u}{\partial c_t}=\frac{\partial u}{\partial c_{t'}}$ , bu yüzden Bir gözlem, istikrarlı bir durumda, hanehalkı ile firma arasında borçlanma olamayacağından, gerçek faiz oranı . Gördüğümüz kararlı halde sermaye fiyatıdır.

\frac{\partial f}{\partial k_{t}} = \sum_{i = 0}^{J - 1} β^{J - i - 1} φ_{J - i} (\frac{1 - β}{β} + δ)

$\begin{equation} \frac{\partial f}{\partial k_t} = \sum_{i=0}^{J-1}\beta^{J-i-1} \varphi_{J-i} \left(\frac{1-\beta}{\beta}+\delta\right) \end{equation}$

r = \frac{1 - β}{β}

$r=\frac{1-\beta}{\beta}$

\sum_{i = 0}^{J - 1} β^{J - i - 1} φ_{J - i}

$\sum_{i=0}^{J-1}\beta^{J-i-1} \varphi_{J-i}$

— Kun
kaynak

Cebirde herhangi bir hata olduğunu sanmıyorum. Öyleyse benim +1

— Kitsune Süvari