American Put Option için Terminal Durumu

Son zamanlarda yayınlanan bir kitapta yazarın terminal koşullarından bahsettiğini okudum

$$ \ mathop {\ lim} \ sınırlar_ {t \ - T} V (S, t) = \ maks \ kaldı \ {{X - S, 0} \ sağ \} $$

Bunu anlamak sezgiseldir.

Daha sonra, yazar tanımlar: $$ \ tau \ equiv T - t $$

Bununla, yukarıdaki terminal durumu basitleştirilebilir:

$$ \ mathop {\ lim} \ sınırlar _ {\ tau \ - 0} V (S, \ tau) = 0 $$

Bu çok sezgisel değil. Bu durumda seçeneğin değeri sıfıra nasıl eşit olabilir?

(not: boşlukta) $$ {\ Sigma _1} = \ left \ {{(S, \ tau) | B (\ tau) \ le S & lt; + \ infty, 0 \ le \ tau \ le T} \ right \} $$

Gösterimler:

$ X $ = egzersiz fiyatı

$ S $ = temel hisse senedi fiyatı

$ T $ = vadeye kadar geçen süre

$ t $ = bugünün vakti

$ B (\ tau) $ = optimal egzersiz sınırı

options-pricing

— user10699
kaynak

$ B (\ tau) $ nedir? Ben $ S $ temel fiyat, $ X $ grev fiyat ve $ T $ son kullanma tarihi olduğunu farz ediyorum. Gerçekten ne demek istediğinizi açıkça söylemelisiniz - kullandığınız notasyon mutlaka standart değildir ve herkes okuduğunuz kitabı okumaz.

— Theoretical Economist

bu notasyonu daha önce hiç görmemişseniz, soruya yardımcı olabilirsiniz ancak yanlış olabilirim.

— user10699

Yanıtlar:

Bu sınır koşulunun optimal egzersiz fiyatı ile bir ilgisi olduğunu sanmıyorum ve bu nedenle hem Avrupa hem de Amerikan tarzı seçenekler için geçerli olmalı. Bu sadece PDE'yi kapalı formda yeniden yazmamıza izin veren bir terminal durumudur.

Yukarıda gösterdiğiniz ilişki:

ABD doları

$ 'a $ \

$ \ mathop {\ lim} \ limitleri _ {\ tau \ - 0} V (S, \ tau) = 0 $

basitçe demek ki seçeneğin dışsal değeri (diğer bir deyişle, $ X-S> 0, \ forall S

"$ Max $" işlevini bırakmak, sadece Heaviside işlevi açısından getirme koşulunun düzeltilmesidir. Heaviside işlevi, esasen, aşağıdaki sınırı $ t = T $ olarak zorlaması dışında maksimum işleve eşittir:

$ {\ displaystyle V (S, \, \ tau) = 0 \ dört \ forall \; \; S & lt; X} $,

Fark ince gözükse de, $ V_t $ 'ın S = 0'da sonlu olması gerekmediğinden veya bu konuda tanımlanmış olması gerektiğinden önemlidir, bu da koşullu ödemeyi ifade etmek için gereken değişkenlerin yerine koyulmasını daha kolay yapmamızı sağlar. Black-Scholes modelinin genel çözümü olan (ısı) difüzyon denkleminin

Umarım bu sınır şartının sezgisi bu açıklamadan daha açıktır.

— David Addison
kaynak

0

$ T $, sabitse $ \ tau \ - 0 $ ise ve sadece $ t \ - T $ ise. Dolayısıyla, böyle olmalı

$$ \ lim _ {\ tau \ - 0} V (S, \ tau) = \ max \ {X-S, 0 \} $$

Ancak, $ (S, \ tau) \ \ \ Sigma_1 $ 'da, seçeneğin kullanılmaması en uygunudur. Bu, $ \ tau \ - 0 $ olarak, $ X \ le S $ olması gerektiği anlamına gelir. Aksi takdirde, $ \ Sigma_1 $ içinde olmazsınız.

— Theoretical Economist
kaynak