Birinci dereceden stokastik hâkimiyetin etkisi

birinci dereceden stokastik olarak dağılımının egemen olduğunu kanıtlamak için yardımcı program dizinini kullanın , o zaman altındaki ortalamasının altındaki ortalamasını aşamaz .F G x G x $U(x) = x$$F$$G$$x$$G$$x$$F$

Deneme girişimi - birinci dereceden stokastik olarak hakim olduğunu varsayalım, sonra Beklenti doğrusallığı koruduğundan beriG F ( x ) ≤ G ( x ) ∀ x E [ F ( x ) ] ≤ E [ G ( x ) ] ∀ $F$$G$

$$F(x) \leq G(x) \ \ \forall x$$ $$\mathbb{E}\left[F(x)\right] \leq \mathbb{E}\left[G(x)\right] \ \ \forall x$$

Bunun doğru ya da yeterince katı olduğundan emin değilim. Herhangi bir öneri büyük beğeni topluyor.

$F$$G$$F$$G$$F(x) \leq G(x)$ $\forall x$$X\sim F$$Y\sim G$$X$$Y$

$\mathbb{E}(X) \geq \mathbb{E}(Y)$

$F(x) \leq G(x)$ $\forall x$$X$$x$$Y$$x$$x$$X$$x$$Y$$X$$Y$

İşte kanıtı:

$$\begin{eqnarray*} & F(x) \leq G(x) \ \ \ \forall x \\ \rightarrow & 1 - F(x) \geq 1- G(x) \ \ \ \forall x \\ \rightarrow & \int_{0}^{\infty}1 - F(x) dx \geq \int_{0}^{\infty} 1- G(x)dx \\ \rightarrow & \int_{0}^{\infty}\Pr(X> x) dx \geq \int_{0}^{\infty} \Pr(Y> x)dx \\ \rightarrow & \int_{0}^{\infty} \int_{x}^{\infty}f_X(a) da dx \geq \int_{0}^{\infty} \int_{x}^{\infty}f_Y(a) da dx \\ \rightarrow & \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{a}f_X(a) dx da \geq \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{a}f_Y(a) dx da \\ \rightarrow & \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{a} dx \ f_X(a) \ da \geq \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{a} dx \ f_Y(a) \ da \\ \rightarrow & \int_{0}^{\infty} a \ f_X(a) \ da \geq \int_{0}^{\infty} a \ f_Y(a) \ da \\ \rightarrow & \mathbb{E}(X) \geq \mathbb{E}(Y) \ \end{eqnarray*}$$