Bütçe Kısıtlamasına Tabi Bir Yardımcı Program İşlevinin Toplam Farkı

İkame Metodunu (Lagrangian Metodu'nun aksine) kullanırken bütçe kısıtlamasına tabi bir fayda fonksiyonunu maksimize etme sürecini tam olarak anlamaya çalışıyorum. Henderson ve Quandt'ın Mikroekonomik Teorisi çalışmalarını takip ediyorum (1956).

Kafamdaki karışıklık, genelleştirilmiş fayda fonksiyonunun, bütçe kısıtlamasının yerine konmasından sonra toplam farkını elde etmekten kaynaklanıyor. Örneğin, aşağıdaki yardımcı program işlevine sahip olduğunuzu varsayalım:

tabi:

U = f (q_{1}, q_{2})

$U=f(q_1,q_2)$

y^{0} = p_{1} q_{1} + p_{2} q_{2}

$y^0=p_1q_1+p_2q_2$

Bu yardımcı fonksiyonun toplam farkı:

d U = f_{q_{1}} d q_{1} + f_{q_{2}} d q_{2}

$dU=f_{q_1}dq_1+f_{q_2}dq_2$

burada ve kısmi türevleri olan ile ilgili olarak ve ve ve değişimlerdir ve . $f_{q_1}$ $f_{q_2}$ $U$ $q_1$ $q_2$ $dq_1$ $dq_2$ $q_1$ $q_2$

Bütçe kısıtlamasının fayda işlevine bırakılması şu şekilde sonuçlanır:

U = f (q_{1}, \frac{y^{0} - p_{1} q_{1}}{p_{2}})

$U=f(q_1,\frac{y^0-p_1q_1}{p_2})$

Yukarıdaki fonksiyonun toplam farkını hesaplamakta zorlanıyorum. Tam diferansiyel sadece kısmi türevi olur ile ilgili olarak değişikliği ile çarpılır ? Aşağıda benim girişimi: $U$ $q_1$ $q_1$

U = f (q_{1}, \frac{y^{0}}{p_{2}} - \frac{p_{1}}{p_{2}} q_{1})

$U=f(q_1,\frac{y^0}{p_2}-\frac{p_1}{p_2}q_1)$

d U = f_{q_{1}} d q_{1} - \frac{p_{1}}{p_{2}} d q_{1}

$dU=f_{q_1}dq_1-\frac{p_1}{p_2}dq_1$

Kitaptaki bir sonraki adım (yukarıdaki toplam diferansiyelden atladıktan sonra):

\frac{d U}{d q_{1}} = f_{1} + f_{2} (- \frac{p_{1}}{p_{2}}) = 0

$\frac{dU}{dq_1}=f_1+f_2(-\frac{p_1}{p_2})=0$

Açıkçası, ara hesaplamam yanlış (muhtemelen birden fazla yönden). Birisi, ikame edilmiş fayda fonksiyonundan yukarıdaki denkleme geçişte hatalarımı tanımlayabilir ve netleştirebilir mi? Bu sürecin marjinal ikame oranını mal fiyat oranına eşitlemek için kullanıldığını biliyorum ve yorumunun farkındayım. Benim sorum basitçe matematiksel türev ile yatıyor.

microeconomics mathematical-economics

— Amaziah
kaynak

$f$

d U = \frac{\partial f}{\partial q_{1}} d q_{1} + \frac{\partial f}{\partial (\frac{y_{0} - p_{1} q_{1}}{p_{2}})} d (\frac{y_{0} - p_{1} q_{1}}{p_{2}})

$dU = \frac{\partial f}{\partial{q_1}}dq_1+\frac{\partial f}{\partial (\frac{y_0-p_1q_1}{p_2})}d(\frac{y_0-p_1q_1}{p_2})$

q_{2}

$q_2$

f

$f$

q_{2}

$q_2$

\frac{d q_{2}}{d q_{1}}

$\frac{dq_2}{dq_1}$

U = f (q_{1}, q_{2})

$U=f(q_1, q_2)$

q_{2} (q_{1}) = \frac{y_{0}}{p_{2}} - \frac{p_{1}}{p_{2}}

$q_2(q_1)=\frac{y_0}{p_2}-\frac{p_1}{p_2}$

\frac{d U}{d q_{1}} = \frac{\partial f}{\partial q_{1}} \frac{d q_{1}}{d q_{1}} + \frac{\partial f}{\partial q_{2}} \frac{d q_{2}}{d q_{1}}

$\frac{dU}{dq_1}=\frac{\partial f}{\partial q_1}\frac{dq_1}{dq_1}+\frac{\partial f}{\partial q_2}\frac{dq_2}{dq_1}$

\frac{d q_{1}}{d q_{1}} = \frac{d}{q_{1}} q_{1} = 1

$\frac{dq_1}{dq_1}=\frac{d}{q_1}q_1=1$

\frac{d U}{d q_{1}} = \frac{\partial f}{\partial q_{1}} + \frac{\partial f}{\partial q_{2}} \frac{d q_{2}}{d q_{1}}

$\frac{dU}{dq_1}=\frac{\partial f}{\partial q_1}+\frac{\partial f}{\partial q_2}\frac{dq_2}{dq_1}$

\frac{d q_{2}}{d q_{1}} = - \frac{p_{1}}{p_{2}}

$\frac{dq_2}{dq_1}=-\frac{p_1}{p_2}$

\frac{d U}{d q_{1}} = f_{1} + f_{2} (- \frac{p_{1}}{p_{2}})

$\frac{dU}{dq_1}=f_1+f_2(-\frac{p_1}{p_2})$

— user278039
kaynak