Sürekli Zamanda Komple Pazarlar

Sınırlı sayıda devlete sahip standart ayrık zamanlı ekonomilerde, , tam bir piyasa ekonomisi, bağımsız varlıklara sahip bir ekonomidir (Think Ljunqvist ve Sargent Bölüm 8). Bunun nedeni, bağımsız varlığın yarın devlet kümesine yayılması için yeterli olmasıdır.n $n$$n$$n$

Geçen hafta bir profesörle görüştüm, burada varlık fiyatlandırmasını düşünürken sürekli zamanın kolaylıklarından birinin sürekli bir zaman ekonomisi içinde sadece risksiz bir tahvil ve riskli bir varlık ile tam pazarlar alabileceği ( bağımsız) ekonomideki her Brownian hareketi için.

Konuşurken açıkladı, sanırım çoğunlukla anlıyorum, ama birisinin ayrıntıları yazmayı düşünüp düşünmeyeceğini mi merak ediyordum?

Muhtemelen bu hafta üzerinde bir ya da iki gün geçireceğim (diferansiyel hesabın bazı özelliklerine bağlıdır), bu yüzden başka kimse soruyu cevaplamazsa, umarım tatmin edici bir cevap verebilirim.

Bunun gibi sürekli zaman sorularına cevap vermesi gereken son kişiyim, ama başka kimse yoksa sanırım bir şans vereceğim. (Loş hatırlanan sürekli zamanlı finansmanımın düzeltilmesi çok hoş karşılandı.)

Benim izlenimim her zaman bunun en iyi martingale temsil teoreminin bir sonucu olarak yorumlanmış olmasıydı . İlk olarak, gevşekçe bazı gösterimler oluşturacağım. Olasılık uzayının bağımsız Wiener işlemi tarafından üretilmesine izin verin ( Z 1 t , … , Z n t ) . Söz konusu olsun , n + 1 değerinin varlıklar, i th varlık t ile verilmektedir S i t . Varlık i = 0'ın risksiz bir tahvil olduğunu varsayalım d S $n$$(Z_t^1,\ldots,Z_t^n)$$n+1$$i$$t$$S_t^i$$i=0$,i=1,…,nvarlıklarının her biri riskliyse ve karşılık gelenZ i t tarafından yönlendirilir: dS i t =μ i t dt+σ i t dZ i t kesin bir pozitif SDF süreci vardır varsayalımm,tnormalizem0=1, bu şekildem,$dS_t^0=r_tS_t^0dt$$i=1,\ldots,n$$Z_t^i$

$$dS_t^i=\mu_t^idt+\sigma_t^idZ_t^i$$ $m_t$$m_0=1$ her biri için bir martingale olan i (SDF temelde tanımı), ve burada D m t = ν t d t + ψ t ⋅ d Z'nin t (kullanmak ⋅ uygun olacaktır nokta ürün olarak).$m_tS_t^i$$i$ $$dm_t=\nu_t dt+\psi_t\cdot dZ_t$$ $\cdot$

Son olarak, izin boyutlu vektör θ t süre içinde portföy olmak t , net değer şekilde bir T ile verilir bir t = θ t ⋅ S t . A 0'ın sabit olduğunu ve bundan başka d A t = θ t ⋅ d S t olduğunu varsayalım . Diyelim ki dünya T zamanında bitiyor ve A T değerinde net istiyoruz$n+1$$\theta_t$$t$$A_t$$A_t=\theta_t\cdot S_t$$A_0$

$$dA_t=\theta_t\cdot dS_t$$ $T$$A_T$T tarihine kadar tüm tarihe bağlı olabilen belirli bir stokastik eşittir . Kabul edelim ki A 0 = E 0 [ m T Y ] , yani tam piyasaların bir dünyada biz (en verebilecek t = 0 ) Bizim ilk zenginliği kullanmak A 0 satışa kadar geçen süre t = T ödeme Y . Bu doğrudan komple piyasaların yokluğunda, söz konusu olup olmadığıdır yine portföy için bazı strateji θ t bize ulaşmasına olanak sağlayacak bir $Y$$T$$A_0=E_0[m_TY]$$t=0$$A_0$$t=T$$Y$ $\theta_t$ dünyanın her yerinde Y. Ve cevap, bu ortamda, evet.$A_T=Y$

$d(m_tA_t)=\theta_t\cdot d(m_tS_t)$$m_tS_t$$m_tA_t$$A_T=Y\Longleftrightarrow m_TA_T=m_TY$

$$m_tA_t=E_t[m_TY]$$ $t\in[0,T]$$t=0$

$E_t[m_TY]$

$$E_t[m_TY]=E_0[m_TY]+\int_0^t \phi_s\cdot dZ_s$$ $\phi_s$$d(m_tA_t)=\phi_t\cdot dZ_t$ $$d(m_tA_t)=\sum_i (m_t\theta_t^i \sigma_t^i +A_t\psi_t^i)dZ_t^i$$ $m_t\theta_t^i\sigma_t^i +A_t\psi_t^i=\phi_t^i$$i=1,\ldots,n$$\theta_t^i$ $$\theta_t^i=\frac{\phi_t^i-A_t\psi_t^i}{m_t\sigma_t^i}$$ $\theta_t^0$$A_t=\theta_t\cdot S_t$

$A_t$$m_tA_t=E_t[m_TY]$$m_t$$dZ_t^i$$\theta_t$$dA_t$$dZ_t^i$$n$$n$

Bunu uzun süredir yayınlamayı kastediyorum. Buna rastladım ve bunun içgörü sağlayabileceğini düşündüm. Bu örnek Munk'un "Finansal Varlık Fiyatlandırma Teorisi" nden alınmıştır.

Aşağıdaki şekli düşünün. Eksiksiz bir pazara sahip olmak için kaç varlığa ihtiyacımız var?

$N$$N$

(i) belirsizlik bir anda tam olarak ortaya çıkmaz, azar azar açıklanır ve (ii) varlıklarda dinamik olarak işlem yapabiliriz. Örnekte ekonominin 0'dan zaman 1'e üç olası geçişi vardır. Bir dönemlik analizimizden, bu belirsizliği 'aşmak' için yeterince farklı üç varlığın yeterli olduğunu biliyoruz. 1. zamandan 2. zamana kadar, ekonominin şu anda hangi durumda olduğuna bağlı olarak, ekonominin iki, üç veya bir olası geçişi vardır. Çoğu zaman, bu dönemdeki belirsizliği aşmak için yeterince farklı üç varlığa ihtiyacımız vardır. Her iki dönemde de yeterince farklı üç varlığa erişimimiz varsa, toplamda herhangi bir temettü işlemi oluşturabiliriz.

Daha genel, sonlu durumlu ayrık zamanlı bir pazarın genel bir çok-uluslu ağaç versiyonu söz konusu olduğunda, ağaçtaki her bir düğüm için, yayma sayısını o düğümü terk eden alt ağacın dal sayısı olarak tanımlayabiliriz . Daha sonra, ağaçtaki herhangi bir düğüm için, izleyen dönemdeki doğrusal olarak bağımsız işlem gören varlıkların sayısının yayılma sayısına eşit olması durumunda pazar tamamlanır.

Şimdi, belirsizliğin bir d-boyutlu standart Brownian hareketi tarafından üretildiği sürekli zaman modeli söz konusu olduğunda, argüman karmaşıktır, ancak Munk önceki tartışmaya dayanarak bazı görüşler vermektedir.

Aşağıdaki gözlemler göz önüne alındığında sonuç oldukça sezgiseldir:

1. Bir andaki sürekli değişiklikler için, sadece araçlar ve varyanslar önemlidir.
2. $dz_i$$d+1$$dz_t$$dz_t$$dt$$\epsilon$$\sqrt{dt}$$1/2$$-\sqrt{dt}$$1/2$
3. Sürekli ticaret ile eksojen şoklara maruz kalmamızı her an ayarlayabiliriz.

$d+1$$d+1$