Mareşal talep fonksiyonu göz önüne alındığında kayıtsızlık eğrileri elde etmek mümkün müdür?

İki iyi dünyada, bir mareşal talep D(p,m)p'nin bir malın fiyatı olduğu ve m'nin bir fayda fonksiyonu ya da ilgisizlik eğrisi fonksiyonu sağladığı gibi bir işlevi yerine getirecek mi? Eğer öyleyse, bunu nasıl çözebiliriz?

microeconomics utility consumer-theory

— Howard Black
kaynak

Evet, bazı şartlar altında. Bu klasik entegrasyon sorunudur : ayrıntılı tartışma için Kim Border'ın bazı mükemmel notlarına bakın .

Birkaç başka teknik koşul gereklidir, ancak en ekonomik olarak önemli koşul Slutsky matrisinin her zaman simetrik ve negatif semidefinit olması gerektiğidir. Somut olmak gerekirse , Slutsky matrisinin Elemanını 'de sonra olmalıdır tüm için , ve aynı zamanda herhangi bir vektör için tüm için olmalıdır gerekliliği $ij$ $(p,m)$

σ_{i j} (p, m) = \frac{\partial D_{i} (p, m)}{\partial p_{j}} + D_{j} (p, m) \frac{\partial D_{i} (p, m)}{\partial m}

$\sigma_{ij}(p,m)=\frac{\partial D_i(p,m)}{\partial p_j}+D_j(p,m)\frac{\partial D_i(p,m)}{\partial m}$

σ_{i j} (p, m) = σ_{j i} (p, m)

$\sigma_{ij}(p,m)=\sigma_{ji}(p,m)$

(p, m)

$(p,m)$

v

$v$

(p, m)

$(p,m)$

\sum_{i} \sum_{j} σ_{i j} (p, m) v_{i} v_{j} \leq 0

$\sum_i \sum_j \sigma_{ij}(p,m)v_iv_j \leq 0$ Bu koşulların hemen ardından, Marshallian talebi bir fayda fonksiyonunun kısıtlı maksimizasyonundan kaynaklanıyorsa, Slutsky matrisinin simetrik ve negatif semidefinit olduğunu gösterir. Ancak bu koşulların (bazı diğer teknik varsayımlarla birlikte) bir fayda fonksiyonunu desteklememizin yeterliliği daha karmaşık bir konudur ve detayları almak için Border'in notlarını veya başka bir gelişmiş mikro kaynağı öneriyorum.

Eğer, Slutsky koşulları tutun varsayarak , tipik iki iyi durumda eğrileri kayıtsızlık vazgeçme kaba pratik yolu (teknik inceliklerini görmezden) istemek, en basit yolu dengeleme değişikliğini belirlemek için talep bilginizi kullanmak muhtemelen fiyatlarda belirli bir değişikliğe uyum sağlamak için gerekli harcamalarda. Özellikle, için , Mareşal talep fonksiyonu bilgisi verildiğinde , harcama fonksiyonunda diferansiyel bir denklemdir . Bilinmeyen bir yardımcı program üreten bazı başlangıç değerlerinden başlayarak $i=1,2$

\frac{\partial e (p, u)}{\partial p_{i}} = h_{i} (p, u) = D_{i} (p, e (p, u))

$\frac{\partial e(p,u)}{\partial p_i} = h_i(p,u) = D_i(p,e(p,u))$

D

$D$

e

$e$

(\bar{p}, \bar{m})

$(\bar{p},\bar{m})$

\bar{u}

$\bar{u}$ , olduğunu biliyoruz . Daha sonra, farklı için, yukarıdaki diferansiyel denklem entegre elde edilir herhangi . Ve sonra Hicksian talep vektörü herhangi .

e (\bar{p}, \bar{u}) = \bar{m}

$e(\bar{p},\bar{u})=\bar{m}$

p_{1}

$p_1$

i = 1

$i=1$

e (p_{1}, {\bar{p}}_{2}, \bar{u})

$e(p_1,\bar{p}_2,\bar{u})$

p_{1}

$p_1$

h (p_{1}, {\bar{p}}_{2}, \bar{u}) = D (p_{1}, {\bar{p}}_{2}, e (p_{1}, {\bar{p}}_{2}, \bar{u}))

$h(p_1,\bar{p}_2,\bar{u})=D(p_1,\bar{p}_2,e(p_1,\bar{p}_2,\bar{u}))$

p_{1}

$p_1$

Bu Hicksian taleplerinin hepsi aynı fayda karşılık geldiğinden , aynı kayıtsızlık eğrisindedir. değişkenini , bu kayıtsızlık eğrisindeki birçok farklı noktayı izleyebileceğiz. Aslında, talep yeterince iyi davranıyorsa, her iki yönde de değiştirerek tüm ilgisizlik eğrisini . (Bu arada, "kayıtsızlık eğrisi izleme" ile olan tüm biz her halükarda yapabilirsiniz: yardımcı programın kardinalitesi Marshallgil talebe alakasız olduğundan, sadece kayıtsızlık eğrileri ve bu sıranın gibi sıralı özelliklerini alabilir.) $\bar{u}$ $p_1$ $p_1$

— nominal olarak sert
kaynak