Doğrusal ileriye dönük denklemin çözümü burada ve

Doğrusal ileriye dönük bir denklem nasıl $x_t = \beta E_t[x_{t+1}] + k$ burada $\lim_{t \to \infty} x_t = 0$ ve sabit, $k,\beta \in \mathbb{R}$ , $0<\beta <1$ ?

(I şüpheli $E_t[x_{t+1}] = E(x_{t+1}\mid I_t)$ , burada $I_t$ bilgi alan yani $E_t[x_{t+1}]$ beklenen" olarak tercüme edilir rastgele değişkenin değeri $x_{t+1}$ koşullu bilgi $t$ " zamanında kullanılabilir. "

@FooBar cevabı "standart çözüm algoritması" nı uyguladı, sürekli bir çözüme ulaştı ve böyle bir çözümün sınırlama koşullarını ihlal ettiğini belirtti.
Kesin konuşursak, sabit bir çözüm, sıfıra eşit olsaydı (bizim durumumuzda anlamına gelirse) sınırlayıcı çözümü de tatmin ederdi : Gerçekten de çözüm olarak sahip olsaydık$k=0$

$$x_t = \frac k{1-\beta}$$ sonra

$$\lim_{t \to \infty} x_t = \lim_{t \to \infty}\frac k{1-\beta} = \frac k{1-\beta} \neq 0$$

dışında, . Ancak bu önemsizdir (veya en azından ilgi çekmeyen).$k=0$

Öyleyse, eğer , bir çözüm elde etmek için ne gerekir$k\neq 0$ ? Evrim yasası da bu sınırda olmalı

$$\lim_{t \to \infty} x_t = \lim_{t \to \infty}\Big[\beta E_t[x_{t+1}] + k\Big]=0$$

$$\Rightarrow \lim_{t \to \infty}E_t[x_{t+1}] = -\frac k{\beta} \tag{1}$$

Kelimelerin rastgele değişkeni sıfıra meyilli olduğu için, önceki dönemde mevcut olan bilgilere bağlı beklenen değeri sıfır olmayan bir sabite eşit olmalı , değişkenin kendisi de sıfıra eğilimli olmalıdır. Böyle bir şeyin olup olmadığını ve ne zaman olabileceğini görmek için bazı vakaları göz önünde bulundurun:

A) Eğer oldu tamamen gözlenemeyen (doğrudan gözlenmedi ve dolaylı olarak hesaplamak diğer değişkenlere rağmen) uygun olmayan? Böyle bir durumda, bilgi seti hiçbir bilgi , bu da koşullu beklenen değerin koşulsuz eşit olacağı anlamına gelir. Yani biz olurdux $x_t$$x_t$

$$\lim_{t \to \infty}E_t[x_{t+1}] = \lim_{t \to \infty}E[x_{t+1}] \tag{2}$$

Bu ekonomidir, yani matematiksel varlıkların özelliklerinin gerçek dünyada neyi temsil ettiğini dikkate alması gerektiği anlamına gelir. Bu yüzden anlamsız olacaktır değil varsaymak edilir değil bu anlamına geleceğini, üzerinde daha fazla (sınırlanmış rasgele değişkeni sonlu sürede sonsuza gider ve daha sonra sonsuz sürede sıfıra eğilimi "geri geliyor" - ve "hiperinflasyonu" düşünenler için hiperinflasyon, sonsuzluğa kıyasla çok küçük bir rakamdır). Sınırlı ise, Hakim / Sınırlı Yakınsama teoremi tutar ve$x_{t+1}$$x$

$$\lim_{t \to \infty}E\left(x_{t+1}\right) =E\left(\lim_{t \to \infty}x_{t+1}\right) =0 \neq -\frac k{\beta} \tag{3}$$

Dolayısıyla bu gerekli ilişkiyi elde edebileceğimiz bir durum değil .$(1)$

B) Sınırlama koşulu, sonlu için bilgi setlerinin bir parçasıdır . Sonra hemen $t$

$$E\left(\lim_{t \to \infty}x_{t+1}\mid I_t\right) =0$$

Kelimelerde, herhangi bir zamanda değişkenlerin sonunda sıfıra gideceğini biliyoruz. Bu ilişkiyle uyumlu olabilir mi ? Tekrar ( ve Dominated Convergence genellemesini çağırabiliriz , çünkü burada (koşullu olasılık) ölçüsü de zamanla değişkendir ve sınırda sıfır beklenti elde ederiz. Ancak sezgisel olarak, eğer değişkenin sonunda sıfıra gideceğini biliyorsak, bu zamanın belli bir noktasında , kesinlikle yansıtılmalıdır . Fakat sonra tekrar, gerekli ilişki geçerli olmaz.x t E t ( 1 $(1)$$x_t$$E_t$$(1)$

C) Değişkenin değerini mükemmel veya kusursuz bir şekilde gözlemliyoruz, ancak “doğru bildirimde bulunmuyoruz”: Beklentilerimiz Rasyonel değil . Bu durumda, sembolü artık şartlı beklentiler operatörünü temsil , ancak sadece " zamanında beklenti" için genel bir simgedir (Uyarlamalı Öğrenme literatüründe bu genellikle sembolize edilmiştir ) ve değeri elde eder. sınırlama şartının tutması için edinmesi gerekir . Başka bir deyişle, evrim yasası ve sınırlayıcı koşul göz önüne alındığında , beklentilerin Rasyonel Beklentiler Hipotezine uymaması gerektiği sonucuna varıyoruz . t E ∗ $E_t$ $t$$E^*_t$sınırda bile değil .

Böyle bir durumda bir çözüm açıktır: tanımlayın

$$E^*_t(x_{t+1}) = -\frac {(1-c\beta^t)k}{\beta}$$

Bazı sabit , Bu beklenti oluşum kuralı yerine getirir ve hareket yasasını dönüştürür.( 1 $c$$(1)$

$$x_t = \beta \Big[-\frac {(1-c\beta^t)k}{\beta}\Big] + k = ck\beta^t$$

hangi sırayla sınırlayıcı şartı yerine getirir.

Bu nedenle, şu sonucuna varıyoruz: Beklentiler oluşumu Rasyonel Beklentiler Hipotezine uymuyorsa, ancak bunun yerine yukarıdaki kuralı ya da bazılarını aynı sınırlama etkisine uyduysa, belirli sınırlama koşuluyla belirli denklemin bir çözümü vardır.

FooBar'ın dediği gibi beklentiyi düşürebilirsiniz. Daha sonra , için genel davayı cinsinden alın.x t x t + $n$$x_{t}$$x_{t+n}$

$$x_{t}=\beta^{n}x_{t+n}+k\sum_{i=0}^{n}\beta^{i}.$$

Olarak , ve (biz anlatılır) .$n\rightarrow \infty$$\beta^{n} \rightarrow 0$$x_{t+n} \rightarrow 0$

Öyleyse, yukarıdaki geometrik toplamın yakınsadığı gerçeğini kullandık, çünkü , 0<β<1limN→∞ iken n Σ i=0βi=

$$x_{t}=\lim_{n\rightarrow \infty}\left[\beta^{n}x_{t+n}+k\sum_{i=0}^{n}\beta^{i}\right]=\frac{k}{1-\beta},$$ $0<\beta<1$ $$\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{i=0}^{n}\beta^{i}=\frac{1}{1-\beta}.$$

Sağ tarafta rastgele bir şey olmadığından, sol tarafın da rastgele olmaması gerektiğini biliyoruz. Dolayısıyla beklenti operatörünü bırakabiliriz.

x t + 1 = β x t + 2 +

$$x_t = \beta x_{t+1} + k$$ $$x_{t+1} = \beta x_{t+2} + k$$ $$x_t = \beta (\beta x_{t+2} + k) + k$$ $$x_t = k + \beta k + \beta\beta x_{t+2}$$

Şimdi bu denklemin nereye doğru gittiğini görebiliriz:

$$x_t = k\sum_{s=0}^\infty \beta^s + \lim_{T\to\infty} \beta^Tx_T$$

$T\to\infty$

$$x_t = \frac{1}{1-\beta} k$$

$x$$lim_{t\to\infty} x_t = 0$$x_t$