Fayda fonksiyonunda birinci derece homojen.

Soru

Benim çözümüm aşağıdaki. Lütfen çözümümü kontrol edin. Eğer bir hata yaparsam, lütfen söyle. Çözümümden gerçekten emin değilim. teşekkür ederim

U (x) birinci derecede homojendir, yani u (tx) = tu (x)

İlk olarak dolaylı fayda fonksiyonunun m cinsinden bir derece homojen olduğunu gösteririm.

Yardımcı program maksimizasyonu ile,

V (p, m) = piksele tabi maks. U (x) $\le$ m

tv (p, m) = maksimum tu (x) piksel değerine tabi $\le$ m

U (tx) = tu (x) olduğundan, tv (p, m) = maks. U (tx) piksele tabi $\le$ m

Sonra v (p, tm) = tv (p, m)

Yani dolaylı fayda fonksiyonu birinci derecede homojendir.

Önceki fonksiyonlar kullanılarak harcama fonksiyonunun u'da bir derece homojen olduğunu gösteriyorum.

bunu biliyorum

v (p, m) = v (p, e (p, u)) = u (x)

U (x) birinci derece homojen olduğundan ve v (p, m) m cinsinden bir derece homojen olduğundan, v (p, e (p, u)) e (p, u) cinsinden bir derece homojen olmalıdır. .

Başka bir deyişle, v (p, e (p, u (tx))) = v (p, e (p, tu (x))) = tv (p, e (p, u)) iff e (p'yi tutar , tu (x)) = te (s, u (x))

yani pahalı fonksiyon e (p, u) u'da bir derece homojendir.

Şimdi mareşalya talebinin x (p, m) m cinsinden bir derece homojen olduğunu göstereceğim.

Roy'un kimliğine göre,

\frac{\partial v (p, m) / \partial p}{\partial v (p, m) / \partial m} = x (p, m)

$\frac{\partial v(p,m)/\partial p}{\partial v(p,m)/\partial m}=x(p,m)$

İlk sonuç olarak, v (p, m) m cinsinden bir derece homojen olduğu için, x (p, m) m cinsinden bir derece homojendir.

Şimdi hicksian talebin u'da bir derece homojen olduğunu gösterelim.

bunu biliyorum

x (p, m) = x (p, e (p, u)) = h (p, u) ........ (1)

X (s, tm) tx = (p, m) tx = (s, E (s, u)) = x (s, te (s, u))

E (p, u) ikinci bölüm bir dereceye kadar homojen olduğu için,

X (s, te (s, u)) = x (s, E (s, u (tx)) = h (s, u (tx)) = h (s, tu (x)) = th (s, u (x)) eşitliği (1) var olduğundan beri tutmalıdır.

Yani hicksian talep u'da bir derece homojendir.

— none009
kaynak

Kötü yapmıyorsun. İlk kanıtınız için şunu yazmalısınız:

u (t x) = t u (x) ⟹ t v (p, m) = max u (t x) s . t . p (t x) \leq t m = v (p, t m)

$u(tx)=tu(x)\implies tv(p,m)=\max u(tx) \;\;s.t.\;\; p(tx)≤ tm = v(p,tm)$

— Alecos Papadopoulos

nin cinsinden bir derece homojen olduğunu gösterme şekliniz doğrudur, ancak bunun daki derece bir homojen olduğunu ima etmenizin nedeni argümanınızda çok kesin değildir. . Örneğin, dualite bize bildirir burada sadece bir hedef yardımcı program seviyesidir, ancak kanıtınızda olduğu gibi olmamalıdır . $v(p,m)$ $m$ $e(p,u)$ $u$

v (p, e (p, u)) = u,

$v(p,e(p,u))=u,$

u

$u$

u (x)

$u(x)$

Burada devam etmek için olası bir yöntemdir: yana derecesi bir homojen olduğu , o kadar yazılabilir Eşitlik uygulanması verir açıkça ima homojendir birincilik derecesi . Hicksian talebinin homojenliğini kanıtlamak için benzer bir argüman kullanabilirsiniz. $v(p,m)$ $m$

v (p, m) = m v (p, 1) = m \tilde{v} (p) .

$v(p,m)=mv(p,1)=m\tilde v(p).$

v (p, e (p, u)) = u

$v(p,e(p,u))=u$

e (p, u) = \frac{u}{\tilde{v} (p)},

$e(p,u)=\frac{u}{\tilde v(p)},$

e (p, u)

$e(p,u)$

u

$u$

Tüm bunlarla birlikte, orijinal beyanı doğrudan harcama fonksiyonu ve Hicksian talebi tanımlarını kullanarak kanıtlamanızı öneririm. Örneğin,

\begin{aligned} e (p, λ u) & = min p \cdot x s.t. u (x) \geq λ u \\ = λ min p \cdot \frac{1}{λ} x s.t. \frac{1}{λ} u (x) \geq u \\ = \dots \end{aligned}

$\begin{align*} e(p,\lambda u)&= \min p\cdot x ~~\text{ s.t. } u(x)\geq \lambda u\\ &=\lambda\min p\cdot\frac{1}{\lambda}x ~~\text{ s.t. }\frac{1}{\lambda}u(x)\geq u\\ &=\cdots \end{align*}$

— Ziwei Wang
kaynak

Tamam teşekkür ederim. Bunu hicksian talep için de yapıyorum. Lütfen benim hicksian talep için benim çözüm de kontrol. yine m = 1'i normalleştirelim. Ve . Yana sonra sahip bu nedenle, e (p, u) u derecesinde bir derece homojen olduğu için, hicksian talep u derecesinde de bir derece homojendir. Bu doğru mu? Lütfen tekrar kontrol edin sevgili @ZiweiWang çok teşekkür ederim. :)

x (p, m) = m x (p, 1) = m \tilde{x} (p)

$x(p,m)=mx(p,1)=m\tilde {x}(p)$

x (p, e (p, u)) = h (p, u)

$x(p,e(p,u))=h(p,u)$

\frac{h (p, u)}{m \tilde{x} (p)} = e (p, u)

$\frac{h(p,u)}{m\tilde {x}(p)}=e(p,u)$

— none009

taktığınıza dikkat edin , bu yüzden (yani ifadenizde .)

m = e (p, u)

$m=e(p,u)$

h (p, u) = \tilde{x} (p) e (p, u)

$h(p,u)=\tilde{x}(p)e(p,u)$

m

$m$

h (p, u)

$h(p,u)$

— Ziwei Wang