Baye'de Shin Alt Oyunu Mükemmel Denge, Shin (1999)

Aşağıdaki alınan Baye, Shin (1999)

Sırasıyla $ x_1 $ ve $ x_2 $ tutarında bir çaba gösteren 1 $ ve 2 $ 'lık simetrik oyuncularla 1 değerinde bir ödül üzerinde bir yarışma düşünün. Çaba, 2/3 $ 'ı geçemez. 1 oyuncunun karı ($ \ pi $)

$$ \ pi_1 = frac \ {x_1- frac {x_1x_2} \ {2}} {x_1 + x_2-x_1x_2} -x_1 $$

Eşzamanlı hareket dengesi (üst simge $ * $ ile gösterilir)

$$ x_1 ^ * = x_2 ^ * = 1- \ frac {\ sqrt {2}} {2} $$

Her biri için kar

$$ \ pi_1 ^ * (x_1 ^ *, ^ * x_2) = \ pi_2 ^ * (x_1 ^ *, ^ * x_2) = \ frac {\ sqrt {2} -1} {2} $$

Ve biz oyuncu 2 $ $ en iyi cevabı var

$$ R_2 (x_1) = frac \ {2x_1- \ sqrt - {(2x_1 ^ 2 + 4x_1)}} {2 (x_1-1)} $$

Ancak, oyuncuya $ 1 $ 'in oyuncudan önce $ 2 $' hamle 'olduğunu varsayalım. Ardından, $ 1 $ oyuncusu, muhtemelen $ 2 olan $ x_1 ^ * $ 'dan sapacak (yukarı doğru), çünkü $ 2 $ oyuncusu bu çaba düzeyini düşürecek ve daha fazla ödül alacaktı. Biri bunu nasıl gösterir?

Baye ve Shin makalesinde, yeni Stackelberg dengesini $ \ pi_1 ^ s $ olarak değerlendiriyorlar. özellikle

$$ \ pi_1 ^ s (x_1 ^ * + \ epsilon) - \ pi_1 ^ * (x_1 ^ * + x_2 ^ *) = \ frac {\ sqrt {1 + 2 \ epsilon \ sqrt {2} -2 \ epsilon ^ 2} -1 \ epsilon \ sqrt {2} + 2 \ epsilon ^ 2} {\ sqrt {2} -2 \ epsilon} ve karışım 0 $$

$ X_2 $ 'ın $ x_1 + \ epsilon $ ile nasıl değiştiğini görerek ve $ x_1 + \ epsilon $ ile $ x_2 ^ s $' ın yeni değerini $ 1 $ 'ın kar işlevine bırakarak sonuçlarını kopyalamaya çalıştım, ancak ulaşamadım onların sonucu.

Bir resmin bin kelimeye bedel olduğunu söyleyenlere göre, Stackelberg oyununun altındaki kâr fonksiyonunu çizelim ve neyle uğraştığımızı görelim.

2. oyuncunun reaksiyon fonksiyonunun doğru olduğunu gözlemlediniz (veya Baye, Shin gazetesinden kopyaladınız):

$$ R (x_1) = \ frac {2 \ mathit {x_1} - \ sqrt {2} \, \ sqrt {2 \ mathit {x_1} - {{\ mathit {x_1}} ^ {2}}}} {2 \ mathit {x_1} -2} \ $$

Bu reaksiyon işlevini oyuncunun 1 kar işlevine eklemek bize karmaşık bir ifade verir:

$$ \ Pi (x_1) = - \ frac {{{2} ^ {\ frac {3} {2}}} \, \ sqrt {2- \ mathit {x_1}} \ {{\ mathit {x_1}} ^ {2}} - 2 {{\ mathit {x_1}} ^ {\ frac {3} {2}}} - 3 \ sqrt {2} \, \ sqrt {2- \ mathit {x_1}} \, \ mathit {x_1} sqrt \ + 4 {\ mathit {x_1}}} {{{2} ^ {\ frac {3} {2}}} \, \ sqrt {2- \ mathit {x_1}} \, \ sol ( \ mathit {x_1} -1 \ sağ)} $$

(Belki de daha gelişmiş sembolik matematik programları bunu daha da basitleştirebilir, benim olmayacak). Her durumda, bu, $ \ mathit {x_1} $ değişkeninin bir işlevidir ve çizilebilir. Bütünlüğü sağlamak için orijinal dengeyi de ekledim.

Gördüğünüz gibi orijinal NE artık yerel bir maksimum değil ve oyuncu 1 çabalarını artırarak karını artırabilir.