Zarf teoremi bir köşe çözümünde duruyor mu?

Aşağıdaki üretim işlevine sahip olduğumuzu varsayalım:

Sol $$ F (L, K) = \ max_ {L_K} H (L L_K, K) = \ max_ {L_K} \ [(L-L_K + 1) ^ \ a (L_K + K) ^ {1- \ a} \ doğru] = (L-L_K ^ * + 1) ^ \ a (L_K ^ * + K) ^ {1-} alfa \ $$

Kısıtlama ile $ L_K \ [0, L] $ içinde.

$$ \ frak {dH} {dL_K} = \ alpha (L-L_K + 1) ^ {- 1} H + (1- \ alpha) (L_K + K) ^ {- 1} H = 0 $$ olduğunu biliyoruz. Bu nedenle, türevinin sıfır olduğu $ L_K $ için değer $ L_K ^ 0 = \ frac {(1- \ alpha) (L + 1) + \ alpha K} {1-2 \ alpha} $ olur. Ve en uygun değer $ L_K ^ * $: $$ L_K ^ * = \ başlamak {olgu} L_K ^ 0 & \ text {if} & 0; L_K & L & amp; (1) \\ L & amp; \ text {if} & L; L_K ^ 0 & (2) \\ 0 & \; text {if} & amp; L_K ^ 0 <0 & (3) \ Ucu {olgu} $$

$ L_K ^ * \ in (0, L) $, (durum $ (1) $) ise zarf teoreminin geçerli olduğu açıktır:

$$ \ f d {dL} F (L, K) = \ frak \ kısmi {\ kısmi L} H (L, L_K ^ *, K) = \ alfa (L-L_K ^ * + 1) ^ {- 1 } \ cdot F (L, K) $$

Dahası, üçüncü durumda (3), zarf teoreminin tuttuğu bana da açık. Ancak ikinci davadan pek emin değilim (2). . Zarf teoreminin bu durumda olmadığını söylerdim. , çünkü $ L_K ^ * $ 'ı orijinal üretim işlevine geri koyarsak, $$ F (L, K) = 1 ^ \ a (L + K) ^ {alfa \ 1-} $$ Ve bu durumda $ L $ ile ilgili türev $$ (1- \ alfa) (L + K) ^ {- 1} \ cdot F (L, K) $$

Zarf teoreminin 3 durumunda tutulması için, bu, Neredeyse-Daima Beklemediği için $ \ alpha = (1- \ alpha) (L + K) ^ {- 1} $ gerektirir.

Ama bunun beni şaşırtmasına sebep olan şey bu soru Ben sevk edildi bu kağıt , şöyle bir teoremi vardır:

Yani sorum şu:

1. Zarf teoreminin $ L_K $ bir köşe çözümünde olduğunda beklemiyor muyum?

2. Bu teoremi çelişiyor mu, yoksa teoremi yanlış mı anlıyorum? Değilse, teorem doğru mu?

İlk önce hesaplamalarda bir işaret hatası yaptınız. Hatanızı düzelttikten sonra, kaçırdığınız çok önemli bir hipotez, seçilen $ X $ 'ın teoremdeki (teoremin notlarıyla birlikte) $ t $ değişkenine bağlı olmadığıdır. Teoremi doğru uygulamak için, $ [0, L] $ aralığı $ L $ 'a bağlı olmamalıdır.

A) işareti hatası

$$ \ frak {\ kısmi H} {\ kısmi L_K} = - \ alpha (L-L_K + 1) ^ {- 1} H + (1- \ alpha) (L_K + K) ^ {- 1} H = 0 $$ $ L_K ^ 0 = (1- \ alpha) (L + 1) - \ alpha K $ tanımlarız.

B) Zarf teoremi sonucunun neden başarısız olabileceğini düşünebildik?

$ 0 & lt; \ alpha & 1; $ $ olduğu varsayıldığında, dört olası durum vardır.

(1) $ L_K ^ 0 \ [0, L] $ içinde. Biri objektif fonksiyonun içbükey olduğunu kontrol edebilir, böylece $ L_K ^ * = L_K ^ 0 $.

(2.i) $ L_K ^ 0 \ [0, L] $ ve $ H (L, 0, K) arasında & lt; H (L, L, K) $. Sonra $ L_K ^ * = 0 $.

(2.ii) $ L_K ^ 0 \ notin [0, L] $ ve $ H (L, 0, K) & gt; H (L, L, K) $. Sonra $ L_K ^ * = L $.

(2.iii) (sadece ayrıntılı olması için) $ L_K ^ 0 \ notin [0, L] $ ve $ H (L, 0, K) = H (L, L, K) $. O zaman iki çözüm var: $ 0 $ ve $ L $.

(1) durumunda, $$ \ frak {\ kısmi F} {\ kısmi L} (L, K) = \ frak {\ kısmi H} {\ kısmi L} (L, L ^ * _ K, K) + \ frak {\ kısmi L ^ * _ K} {\ kısmi L}. \ frak {\ kısmi H} {\ kısmi L_K} (L, L ^ * _ K, K). $$ Birinci taraf koşulu sayesinde sağ tarafın ikinci terimi sıfıra eşittir. Bu zarf teoremi sonucu ile uyumlu bir iç çözüm için.

(2.i) durumunda, $ F (L, K) = H (L, 0, K) $ vb. \ kısmi H} {\ kısmi L} (L, 0, K). $$ Bu köşe çözümü için zarf teoremi sonucuyla uyumlu İşte.

(2.ii) durumunda, $ F (L, K) = H (L, L, K) $ ve benzeri $$ \ frac {\ kısmi F} {\ kısmi L} (L, K) = \ frac { \ kısmi H} {\ kısmi L} (L, L_K = L, K) + \ frak {\ kısmi H} {\ kısmi L_K} (L, L_K = L, K). $$

Buradaki notlara dikkat etmeliyiz, $ \ frac {\ partial H} {\ partial L} $, ilk argümana karşılık gelen kısmi türev anlamına gelir ve $ \ frac {\ partial H} {\ partial L_K} $ ikinci olan. Sağ tarafın ikinci terimi sıfır olan zarf teoremi sonucuna uymuyor .

C) Neden aslında başarısız olmuyor

Sorunu $ F (L, K) = \ max_ {x \ [0,1]} H (x, L, K) $ olarak yazın. $$ H (x, L, K) = (L-x L + 1) ^ \ alpha (x L + K) ^ {1- \ alpha}. $$ Bu problem ilkine eşdeğerdir. Temel fark, $ [0,1] $ aralığının $ L $ veya $ K $ 'a bağlı olmamasıdır. Bu, zarf teoremini uygulayabilmemizin sebebidir, oysa önceden uygulamak yanlıştı.

Davanın (2.ii) zarf teoremiyle uyumlu olup olmadığını kontrol edebiliriz, $ F (L, K) = H (x = 1, L, K) $ ve $ {\ kısmi L} (L, K) = \ frak {\ kısmi H} {\ kısmi L} (x = 1, L, K). $$