İkame ve tamamlayıcılarla birlikte fayda fonksiyonunu türetmek

2-iyi dünyada, talep fonksiyonlarını kusurlu ikame veya tamamlayıcılar için bir fayda fonksiyonundan türetmenin kolay olduğunu biliyorum, peki ya birçok ikame ve tamamlayıcı kombinasyonunu içeren N mallarım varsa?

Örneğin, sosisli sandviçler , hamburger (birbirlerinin yerine) ve hardal , mayo (birbirinin yerine, sosisli sandviç ve hamburger ile tamamlar) varsa, şöyle deneyebilirim: $D$ $H$ $M$ $Y$

U (D, H, M, Y) = (D^{0.5} + H^{0.5}) (M^{0.5} + Y^{0.5})

$U(D, H, M, Y) = (D^{0.5} + H^{0.5})(M^{0.5} + Y^{0.5})$

Maalesef matematik bunun için oldukça hızlı bir şekilde tüyleniyor. Bu denklemleri çözme konusunda daha fazla dalmadan önce, literatürde bu tür analizlerde kullanılan iyi bilinen bir işlev var mı?

Not: Daha genel N-iyi durumla ilgileniyorum, sadece 4 iyi olanla değil.

utility

— robbrit
kaynak

Bunu yapmanın genel yolu iç içe geçmiş bir CES İşlevi kullanmaktır. CES Wikipedia

Örneğin, sandviç (S) ve çeşnilerin (C) faydalarını tanımlayabilirsiniz.

U (D, H, M, Y) = (a_{1} S^{\frac{s - 1}{s}} + a_{2} C^{\frac{s - 1}{s}})^{\frac{s}{s - 1}}

$U(D,H,M,Y) = (a_1 S^{\frac{s-1}{s}} + a_2 C^{\frac{s-1}{s}})^{\frac{s}{s-1}}$ sonra ve "yuvalarını" olarak tanımlayabilirsiniz

S

$S$

C

$C$

S = (b_{1} D^{\frac{ρ - 1}{ρ}} + b_{2} H^{\frac{ρ - 1}{ρ}})^{\frac{ρ}{ρ - 1}}

$S = (b_1 D^{\frac{\rho-1}{\rho}} + b_2 H^{\frac{\rho-1}{\rho}})^{\frac{\rho}{\rho-1}}$

C = (c_{1} M^{\frac{η - 1}{η}} + c_{2} Y^{\frac{η - 1}{η}})^{\frac{η}{η - 1}}

$C = (c_1 M^{\frac{\eta-1}{\eta}} + c_2 Y^{\frac{\eta-1}{\eta}})^{\frac{\eta}{\eta-1}}$

$s$ S ve C'nin tamamlayıcı ( ) veya sübstitüentleri ( ) veya ne ( ) olduğunu belirler. $s \rightarrow 0$ $s \rightarrow \infty$ $s=1$

Aynı için de geçerlidir ve "yuvalarına" in. , ve yuvadaki her bir öğenin göreceli önemini belirler. $\rho$ $\eta$ $a$ $b$ $c$

Bunu genişletmek , her yuvadaki isteğe bağlı yuva sayısına ve rastgele sayıda öğeye sahip olabilirsiniz. Bu yol karmaşık görünebilir, ancak çok fazla esnekliğe sahiptir ve maksimizasyon problemlerini çözerken size güzel türevler verir. $N$

— dsmithecon
kaynak

Ah, harika fikir, teşekkürler! CES işlevlerini yuvalamayı düşünmedim. Şimdi denklemlerle uğraşıyorum ve kapalı form talep fonksiyonlarını bulma konusunda bazı tuhaflıklar yaşıyorum. Onları bulmanın mümkün olup olmadığını biliyor musunuz ve denemeye devam etmeliyim? Yoksa sayısal yöntemler kullanmalı mıyım?

— robbrit

Hm, öngörülen gradyan yükselişini kullanmak oldukça kolay olduğu için bununla devam edeceğim.

— Robbrit

Bu notların 3.1 kısmına bakınız . İlk başta açık olmayan CES ile ilgili bazı püf noktaları var.

— dsmithecon

Bu notlara baktım, ne yazık ki FOC'ları iki ayrı mal için bölme adımları iç içe CES ile çalışmaz. İç içe geçmiş durumda iptal eden, ancak iç içe geçmiş durumda olmayan bir toplam terim var.

— robbrit