Malların sürekliliği ile ekonomide tüketici optimumluğu

deki her nokta için bir emtiaya sahip, metaların sürekliliğine sahip bir ekonomi düşünün . $[0,1]$

Bir tüketicinin maksimize etmek istediğini varsayalım konu

U = \int_{0}^{1} c_{i}^{θ} d i 0 < θ < 1

$U = \int_0^1 c_i^\theta\,di\qquad 0<\theta<1$

burada

,tüketilen

emtiamiktarı,

fiyatı ve

tüketicinin para geliridir.

\int_{0}^{1} p_{i} c_{i} d i = M

$\int_0^1 p_i c_i\,di = M$

c_{i}

$c_i$

i

$i$

p_{i}

$p_i$

M

$M$

Bu tür bir sorun, örneğin Dixit-Stiglitz modelinin makroekonomi veya uluslararası ticarete uygulanmasında ortaya çıkar.

Bu sorunun çözümü sözde burada, bütçe kısıtlamasının karşılanmasını sağlamak için seçilen bir sabittir.

c_{i} = A p_{i}^{\frac{1}{θ - 1}}

$c_i = Ap_i^{1 \over {\theta-1}}$

A

$A$

Sonlu sayıda meta durumunda, Lagrange çarpanlarını benzer şekilde kullanan bu sonucun türevlerinden çok memnun değilim. Yukarıdaki sonucu elde etmek için tamamen matematiksel olarak titiz bir yöntem ne olurdu?

$c_i$ $i$

$n$ $n \to \infty$

@AlecosPapadopoulos'a yanıt olarak. İktisat dersleri için matematikte öğretilen Langrange çarpan yönteminin kanıtları genellikle sınırlı sayıda seçim değişkeni içindir. Seçim değişkenlerinin sürekliliği için yöntemin gerekçelendirildiği bir referansı takdir ediyorum. Ayrıca, yukarıda bahsettiğim anlamsızlık, yöntemin tam olarak doğru olamayacağını göstermektedir. Peki geçerliliği için tam olarak gerekli nitelikler nelerdir?

microeconomics mathematical-economics

— Jyotirmoy Bhattacharya
kaynak

OP'ye katılıyorum, uzay sonsuz boyutlu hale geldiğinde birçok şey yanlış gidebilir. Bana göre, optimum sınırın sınırın optimum olduğu açık değildir.

— FooBar

Yanıtlar:

Tamamen titiz olan şey, bu varyasyonlar probleminin Euler lagrange denklemini yazmak olacaktır, bu size sahip olduğunuz güçlü bir çözüm veya bir dağıtım ile ilgili olarak yazılmış zayıf bir çözüm verecektir.

— user157623
kaynak

Ancak bütçe kısıtlamamı varyasyonlar formülüne nasıl dahil edebilirim?

— Jyotirmoy Bhattacharya

Bu bağlantıyı kontrol edin, math.stackexchange.com/questions/279518/… , bir lagrange çarpan işlevi! İhtiyacınız olan şey budur, bu baskın önlemle neredeyse emin olmakla birlikte , noktaya yorumlanabilecek güçlü bir çözüm sunar

— user157623

Teşekkürler. Varyasyon hesabını kullanma ipucunu takiben Kolomogorov'un 12. bölümünde bir Teorem 1 buldum ve Fomin'in Varyasyonlar Hesabı integraller olarak ifade edilen kısıtlamaları ele alıyor gibi görünüyor. Sonuçta bir anlamda Langrange çarpanları kullanılabilir.

— Jyotirmoy Bhattacharya

Bu yararlıdır -Ama bir cevap olarak değil, bir yorum olarak.

— Alecos Papadopoulos

Haklısın Jyotirmoy Bhattacharya, belki birisi yorumlarda verilen bağlantılarla tam bir cevap olacak şekilde düzenleyebilir.

— user157623

OP'nin bir yorumda belirttiği gibi, Kolomogorov ve Fomin'in Varyasyonlar Hesabı'nın 12. bölümünde yer alan Teorem 1, değişkenlerimizin sayısı sonsuz olduğunda Langrange Çarpanı yöntemini kullanabileceğimiz konusunda biraz rahatlık sağlamaktadır. Yine de yazarlar bunu bir dipnotta "okuyucu Langrange çarpanları ile benzetmeyi kolayca tanıyacaktır" diye yazıyor . Yani hayır, bu ne istediğimizi titizlikle göstermiyor.

Sanırım ihtiyacımız olan şey Craven, BD (1970) gibi bir kağıt . Lagrange çarpanlarının genelleştirilmesi. Avustralya Matematik Derneği Bülteni, 3 (03), 353-362. özetinde şunları yazıyor:

Kısıtlanmış sabit değer problemini çözmek için Lagrange çarpanları yöntemi, işlevlerin keyfi Banach uzaylarında (gerçek alan üzerinde) değer almasına izin vermek için genelleştirilir. Sonlu boyutlu bir problemde Lagrange çarpanları kümesinin yerini, ilgili Banach uzayları arasında sürekli bir doğrusal eşleme almıştır.

Bu matematik konuşmasıdır ama duymak istediklerimizi söyler (wikipedia'da içeriğe güvenin derecesi kadar kısa bir açıklama da bulunabilir).

Sonra sorunun Lagrangean'ını oluşturabiliriz

Λ = \int_{0}^{1} c_{i}^{θ} d i + λ (M - \int_{0}^{1} p_{i} c_{i} d i)

$\Lambda = \int_0^1 c_i^\theta\,\text{d}i +\lambda\left(M - \int_0^1 p_i c_i\,\text{d}i\right)$

ve birinci dereceden koşulları, gayri resmi olarak, "integrale bakarak ve bir toplamı görerek" hesaplayarak,

\begin{matrix} (1) & \frac{\partial Λ}{\partial c_{i}} = 0 \Rightarrow θ c_{i}^{θ - 1} = λ p_{i}, i \in [0, 1] \end{matrix}

$\frac{\partial \Lambda}{\partial c_i} = 0 \Rightarrow \theta c_i^{\theta-1} = \lambda p_i, \;\; i \in [0,1] \tag{1}$

... koşulların sürekliliği. Daha sonra kullanmak için

σ \equiv 1 / (1 - θ), \Rightarrow 1 - θ = 1 / σ, θ = \frac{σ - 1}{σ}

$\sigma \equiv 1/(1-\theta), \Rightarrow 1-\theta = 1/\sigma, \;\; \theta = \frac {\sigma-1}{\sigma}$

$\sigma$

$(1)$ $j$

\begin{matrix} (2) & c_{i} = {(\frac{p_{i}}{p_{j}})}^{- σ} c_{j} \end{matrix}

$c_i = \left(\frac {p_i}{p_j}\right)^{-\sigma}c_j \tag{2}$

$p_i$ $i$

\int_{0}^{1} p_{i} c_{i} d i = \int_{0}^{1} p_{i}^{1 - σ} p_{j}^{- σ} c_{j} d i

$\int_0^1 p_i c_i\,\text{d}i = \int_0^1 p_i^{1-\sigma}p_j^{-\sigma}c_j\,\text{d}i$

\Rightarrow M = p_{j}^{σ} c_{j} \int_{0}^{1} p_{i}^{1 - σ} d i

$\Rightarrow M = p_j^{\sigma}c_j\int_0^1 p_i^{1-\sigma}\,\text{d}i$

\begin{matrix} (3) & \Rightarrow c_{j} = p_{j}^{- σ} \cdot M \cdot {(\int_{0}^{1} p_{i}^{1 - σ} d i)}^{- 1} \end{matrix}

$\Rightarrow c_j = p_j^{-\sigma} \cdot M \cdot \left(\int_0^1 p_i^{1-\sigma}\,\text{d}i\right)^{-1} \tag{3}$

$j$

— Alecos Papadopoulos
kaynak

Mekanik olarak uygulanan Kolmogorov-Fomin sonucu bize bir çözüm sunuyor. Bu yüzden Lagrange çarpanları ile analojiye hitap etmemize gerek yok. Ayrı bir cevapta yazıyorum.

— Jyotirmoy Bhattacharya

Bu sadece @ user157623 tarafından verilen cevabın detaylandırılmasıdır. Kolaylık sağlamak için bir topluluk wiki'si olarak gönderiyorum.

Kolmogorov'un 12. Bölümü'nün Teorem 1 ve Fomin Varyasyonlar Hesabı şöyle diyor:

işlevi verildiğinde
$J [y] = \int_{a}^{b} F (x, y, y^{'}) d x,$ $J[y] = \int_a^b F(x,y,y')\,dx,$ $y (a) = A, y (b) = b, K [y] = \int_{a}^{b} G (x, y, y^{'}) d x = l,$ $y(a)=A,\quad y(b)=b, \quad K[y] = \int_a^bG(x,y,y')\,dx=l,$ $K[y]$ $J[y]$ $y=y(x)$ $y=y(x)$ $K[y]$ $\lambda$ $y=y(x)$ $\int_{a}^{b} (F + λ G) d x,$ $\int_a^b (F+\lambda G)\,dx,$ $y=y(x)$ $F_{y} - \frac{d}{d x} F_{y^{'}} + λ (G_{y} - \frac{d}{d x} G_{y^{'}}) = 0.$ $F_y-\frac{d}{dx}F_{y'}+\lambda\left(G_y-\frac{d}{dx}G_{y'}\right)=0.$

$x$ $i$ $c$ $y$ $F(i,c,c')=c^\theta$ $G(i,c,c')=pc$

θ c_{i}^{θ - 1} + λ p_{i} = 0

$\theta c_i^{\theta-1} + \lambda p_i=0$

$K[y]$ $y(a)$ $y(b)$ $c$ $c^*(i)$ $c(0)=c^*(0), c(1)=c^*(1)$

Tek yakalama, teoremin kendisinin doğasındadır. Optimum için gerekli koşulları sağlar. Bizim durumumuzda gerekli koşulun benzersiz bir sonuç verdiği göz önüne alındığında, bunu yeterli hale getirmek için tek ihtiyacımız olan, sorunumuzun bir çözümü olduğunu savunmaktır.

Kolmogorov-Fomin'deki kanıtlar, uğraştığımız fonksiyonların sürekli ilk türevlere sahip olduğunu varsayar. Bu yüzden, hala bu fonksiyon sınıfında tüketicinin probleminin optimal olduğunu göstermemiz gerekiyor, ancak sorunun çözüldüğü göz önüne alındığında.

— Jyotirmoy Bhattacharya
kaynak