Oyun dizisinin Nash dengesi

Ayarım aşağıdaki gibidir.

$ \ Lbrace G_n \ rbrace $ bir oyun dizilimine sahibim, içinde strateji alanı $ S = [0,1] ^ 2 $, iki oyuncu var $ (I = \ lbrace 1,2 \ rbrace) $, ve ödeme fonksiyonları sürekli (şimdiye kadar başka kısıtlama yok) işlevler tarafından verilir $ i = 1,2 $ her oyuncu için $ U_i ^ n (x_1, x_2) $. Yani, her oyun $ G_n = (U ^ n, S, I) $ ile tanımlanır.

Şimdi, kazancının $ U_i ^ n $ işlevinin nokta noktadan (süreksiz) bir $ U_i $ sınırına yaklaştığını biliyorum. Bu nedenle 'limit oyunu' yazarım $ G = (U, S, I). $ Bir oyunu nash dengelerine eşleştiren bir yazışma yazabiliriz. Bu yazışmaları $ EQ $ olarak adlandırın ve belirli bir oyun için $ G_n $ 'ı, $ EQ (G_n) = \ lbrace (s_ {n1} ^ *, s_ {n2} ^ *), (s_ {n1} ^ {**}, s_ {n2} ^ {**}) \ dots \ rbrace $ burada sağ taraf, $ G_n $ oyunu için (potansiyel olarak sınırsız) nash dengesi kümesidir ve genel olarak, her denge stratejisine izin veririz $ s_ {ni} $ karışık bir strateji. Yani, $ [0,1] üzerinde bir olasılık ölçüsü.

Daha sonra limit oyunu analiz ettim ve bu oyunda benzersiz bir karma strateji nash dengesi buldum. Yani, $ EQ (G) = \ lbrace (s_1 ^ *, s_2 ^ *) \ rbrace $.

Denge için kapalı form çözümlerine sahip değilim, $ \ lbrace (s_ {n1} ^ *, s_ {n2} ^ *), (s_ {n1} ^ {**}, s_ {n2} ^ {**} ) \ dots \ rbrace $, $ \ lbrace G_n \ rbrace $ sırasındaki oyunlardan. Tabii ki, dengenin limit oyunun dengesine nasıl yaklaştığı hakkında bir şeyler söylemek istiyorum.

Sorularım (başlamak için) aşağıdaki gibidir.

• $ U ^ n \ rightarrow U $ 'nın ödeme yönelimli fonksiyonlarının noktasal olarak yakınsaması göz önüne alındığında, hangi anlamda $ \ lbrace oyunlarını söyleyebilirim?
• Denge stratejilerinin yakınsaması hakkında bir şeyler söyleyebilmek için $ EQ $ denge yazışmaları için hangi koşullara ihtiyacım var? Yani, bazı argümanlarla, bir anlamda limit oyunun dengesine yakın olan bir dizi dengenin var olduğunu tespit edebiliyorum. Yani, $ \ lbrace (s_ {n1} ^ *, s_ {n2} ^ *) \ rbrace_ {n = 1} ^ \ infty \ rightarrow \ lbrace (s_ {1} ^ *, s_ {2} ^ *) $, belki de zayıf anlamda, belki de güçlü anlamda veya belki başka bir anlamda.

Herhangi bir yardım veya referanslar büyük beğeni topluyor.

Düzenleme: notasyonu ve soruyu netleştirdi.

Bu sadece genişletilmiş bir not:

$ \ Delta $, Borel olasılık önlemlerinin $ [0,1] $ üzerindeki alanı olsun. Bir denge $ \ Delta ^ 2 = \ Delta \ times \ Delta $ 'ın bir elemanı olarak gösterilebilir. $ [0,1] $ aksiyon alanlarına sahip sürekli ödeme fonksiyonlarına sahip iki oyunculu bir oyun, $ C [0,1] ^ 2 \ times C [0,1] ^ 2 $, sürekli işlevlerin (burada ödeme fonksiyonlarını temsil eder) olduğu alandır; $ \ sup $ -norm $ \ | \ cdot \ | _ \ infty $ tarafından verilen düzgün yakınsama topolojisi $$ \ | f \ | _ \ infty = \ sup_ {[\, in [0,1]} | f (x) | = \ max_ $ Biri $ C [0,1] $ 'ı benzer şekilde tanımlamaktadır.

Zayıf yakınsama (ya da zayıf * -tolojinin) topolojisi olan $ \ Delta $ 'da iyi işlenmiş bir ölçülebilir kompakt topoloji vardır; en kaba topoloji, $ \ mu \ mapsto \ int f ~ \ mathrm d \ mu $ işlevi, C [0,1] $ içindeki her $ f \ için süreklidir. Bu bağlamda, bu topolojideki yakınsama, süreklilik noktalarındaki kümülatif dağılım fonksiyonlarının yakınsamasıdır. $ \ Delta ^ * $ 'ın benzer şekilde zayıf yakınsama topolojisine sahip olan $ [0,1] \ times [0,1] $ üzerindeki Borel olasılık önlemleri kümesi olmasını sağladık.

Daha sonra $$ \ eta: C [0,1] ^ 2 \ times C [0,1] ^ 2 \ - 2 ^ {\ Delta \ times \ Delta} $$ bir denge yazışmalarını tanımlayabiliriz. Öyle ki, $ \ eta (v, u) $, $ u $ ve $ v $ 'ın getirilen fonksiyonlara verilen denge kümesidir. Yazışma Glicksberg teoremi ile boş olmayan değerlere sahiptir. $ \ Delta \ times \ Delta $ küçük olduğundan, $ \ eta $ 'in kapalı bir grafiğe sahip olduğunu göstererek üst hemikontinuous olduğunu gösterebiliriz. Karışık stratejileri bağımsız ürünlerine eşleyen $ p: \ Delta \ times \ Delta \ - \ Delta ^ * $ işlevi süreklidir (Billingsley'in zayıf yakınsama kitabına bakınız). Bir miktar analiz kullanarak, "beklenen kazanç" işlevinin $ k_i: \ Delta \ times \ Delta \ times C [0,1] ^ 2 \ - \ mathbb {R} $ 'nin $ i = için sürekli olduğunu izler. 1,2 $. Şimdi her $ \ mu \ in \ Delta $ için, bırak $$ E_ \ mu ^ 1 \ {(v, u, \ nu, \ tau) \ in \ Delta \ times \ Delta \ times C [0,1] ^ 2 \ times C [0,1] ^ 2 \ orta k_1 (\ nu, \ tau, v) \ geq k_1 (\ mu, \ tau, v) \} $$ ve $$ E_ \ mu ^ 2 \ {(v, u, \ nu, \ tau) \ in \ Delta \ times \ Delta \ times C [0,1] ^ 2 \ times C [0,1] ^ 2 \ orta k_2 (\ nu, \ tau, u) \ geq k_1 (\ nu, \ mu, u) \}. $$ Bu setlerin her biri kapalı ve $ \ eta $ grafiği sadece $$ \ bigcap _ {\ mu \ in \ Delta} E_ \ mu ^ 1 \ cap \ bigcap _ {\ mu \ in \ Delta} E_ \ mu ^ 2, $$ kapalı bir küme, yani $ \ eta $ üst hemikontinülerdir.

Şimdi bu bize, eğer ödeme fonksiyonları düzgün bir şekilde birleşip eşit bir şekilde birleşmezse, ne olacağı hakkında hiçbir şey söylemez !!! Yararlı bilgi sadece strateji alanlarının küçük olması nedeniyle yakınsak bir sonuç olacaktır. Bu dizinin aday dengenize yakınlaşması gerektiğini gösterebilirseniz, bunun için oyunun ayrıntılarından yararlanmanız gerekir, gitmeniz iyi olur.