Osborne, Nash dengesi ve inançların doğruluğu

Osborne'un Oyun Teorisine Giriş bölümünde Nash dengesi şu şekilde tanımlanmıştır (s. 21–22):

İlk olarak, her oyuncu, diğer oyuncuların eylemleri hakkındaki inançları göz önüne alındığında, eylemini rasyonel seçim modeline göre seçer. İkincisi, her oyuncunun diğer oyuncuların eylemlerine olan inancı doğrudur.

Bana göre bu tanım, her bir oyuncunun stratejisinin diğerlerinin stratejilerine en iyi yanıt olduğu bir strateji profili olarak Nash dengesinin olağan tanımına tamamen eşdeğer değildir.

Her zamanki tanım inançlar hakkında hiçbir şey söylemez ve bu nedenle inançların yanlış olabileceği ihtimalini verir.

Önemsiz bir olasılık elde etmek için Mahkumun İkilemini düşünün. Her oyuncunun diğer oyuncunun itiraf etmeyeceğine inandığını varsayalım. İtiraf baskın bir strateji olduğu için her oyuncu hala itiraf ederdi. Dolayısıyla, oyuncuların inançları gerçek denge eylemlerinin tam tersi olmasına rağmen, eylemler bir Nash dengesi oluşturur.

Bu anlayışta Osborne'un tanımının Nash dengesinden başka bir şeyi karakterize ettiği doğru mudur?

Oyun teorisinin diğer bölümlerinde inançların çok belirgin bir anlamı olduğu düşünüldüğünde, burada inanç dilini tanıtmak biraz gariptir.

Gerçekten de, Osborne'un açıklaması Bayes Nash Dengesini andırıyor. İnanç kavramını aşağıdaki gibi tam bir bilgi oyununun normal formuna sokabiliriz: her oyuncunun olasılığı ile , , (Nash) dengesine göre oynayacak ve olasılık ile oynayacak bir "stratejik" tür olduğunu varsayalım. rastgele bazı stratejileri seçecektir (çünkü diyelim ki tüm eylemlerde kayıtsızdır). Böylece inançları düşünmenin daha doğal olduğu bir Bayesli oyunumuz var.$a_i$$i$$1-a_i$

Bayes Nash çözüm konsepti , diğer oyuncuların stratejilerinin neden olduğu beklenen oyun ve tarafından ima edilen türlerine ilişkin inançlar göz önüne alındığında stratejisinin optimal olması gerektiğini söylüyor . Biz sınırı bakarsak olarak herkes için o zaman bu oyunun Bayes Nash dengesi Osborne tarafından açıklanan çözüm konsepti denk gelecek.$i$$\{a_j\}_{j\neq i}$$a_i\rightarrow 1$$i$

Sanırım Osborne'un bunu bir pedagojik gibi yazmasının nedeni, bunun giriş metni olduğu göz önüne alındığında. Durgun oyunlara öğrencilere tanıtmak, biz bu oyuncuya onlara diğer oyuncuların hareketlerine iyi cevap vermekte. Öğrenciler doğal olarak "bu stratejinin ne olacağını bilmeden aynı anda seçilen bir stratejiye nasıl cevap verebilirler?" Bu birçok açıdan felsefi bir sorudur. Ortak cevaplar$i$

• Oyun sık sık oynanan bir oysa (tekrarlanan oyunlarda sürdürülebilecek diğer sonuçların meselelerini bir kenara bırakarak) Nash'i bir denge olarak düşünebiliriz; bu dengeyi süresiz olarak oynamak (ve başkalarının da aynı şeyi yapmasını beklemek).
• Oyun gerçekten tek atış ise, genellikle oyuncuların başkalarının ne yapacağını tahmin etmeye çalışacağı fikrini çağırırız - ve denge anlayışımız bu tahminlerin doğru olması gerektiği fikrini gömer.

Görünüşe göre ikinci noktadaki tahminler Osborne tarafından çağrılan "inançlara" karşılık geliyor. Bununla birlikte, bu tahminlerin / "inançların" sadece bir dengede neler olup bittiğini kavramsallaştırmamıza yardımcı olan ve böyle bir dengenin tanımının bir parçası olmadığının sadece resmi olmayan / sezgisel bir araç olduğunu vurgulamak önemlidir. Nash dengesi kavramı, inançlar kavramı üzerinde tamamen agnostiktir (bir yorumda not ettiğiniz gibi, sadece eylemler üzerinde tanımlanır), bu yüzden Osborne, Nash dengesini resmi olarak tanımlamaya devam ettiğinde , hiç inanç düşüncesi.

İnanç getirilmesi, NE kavramını PBE ve sıralı denge gibi diğer iyileştirme kavramlarıyla karşılaştırılabilir kılar, ancak NE'nin anlamı değişmez.

Mas-Colell, Whinston ve Green (MWG) lisansüstü mikro ders kitabının bunun bir sonucu var

Önerme 9.C.1. Bir strateji profili geniş bir şekilde oyun bir Nash dengesidir inançların bir sistem vardır, ancak ve ancak bu şekilde$\sigma$$\Gamma_E$$\mu$

1. Strateji profili inanç sistemi verilen sıralı rasyoneldir tüm bilgiler setleri de öyle ki .$\sigma$$\mu$ $H$$\Pr(H|\sigma)>0$
2. İnançların sistemi strateji profili elde edilir her Bayes kuralı yoluyla mümkündür.$\mu$$\sigma$

Böylece, mahkumun İkilemi örneği, oyuncuların rakibin gerçek stratejisinin ikinci koşulun başarısız olmasının tersine inançları olduğu durumlarda, inançların mümkün olduğunca Bayes kuralından türetilmesini gerektirir. Aslında, bu Osborne'un tanımının ikinci şartının matematiksel eşdeğeridir: bir oyuncunun diğer oyuncuların eylemleri hakkındaki inancının doğru olması.

Mahkumunuzun ikilem örneği sadece işe yarıyor çünkü bu baskın stratejilere sahip bir oyun. Osborne doğrudur.

Verdiğiniz tanımda olduğu gibi, başka bir oyuncunun stratejisine en iyi şekilde cevap verebilmek için stratejilerini bilmeliyim. Başka bir deyişle, ne yaptıklarına dair inançlarım olmalı ve bu inançlar doğru olmalı. Bu rasyonelleştirilebilirlik kavramının güçlendirilmesidir.

Baskın stratejilere sahip oyunlarda nasıl garip "denge" elde edebileceğiniz konusunda ilginç bir noktaya değindiniz. Sonuç, eşdeğer ve ve burada yanlış olabilir ve değerlenemeyen stratejilere pozitif ağırlık verir. Ancak, inançları içeren bir Nash dengesi görmedim. Hatırladığım tanımlar, " bir strateji profili ise bir Nash dengesidir$(\sigma,\mu_1)$$(\sigma,\mu_2)$$\mu_2$$\sigma\in \Sigma$$\sigma_i\in B_i(\sigma_{-i})$... "Bunun inançları tanımlamanın gereksiz olduğu anlamına geldiğine inanıyorum, çünkü inançlar strateji profilinin tam olarak doğru bir değerlendirmesidir. Kitaplarımdan birine atıfta bulunarak, bir Nash (1950) alıntısıyla olağan tanım verir ve sonra iki temel varsayımı tartışmaya devam eder: Biri doğru inançlar diğeri de bu doğru inançlar göz önüne alındığında rasyonel oyundur.

Daha önce söylenmiş olan şeyleri tekrar ediyor olabilirim, ama işte bunu benim almam.

İki farklı modeli karşılaştırırken normal bir sorunla karşı karşıya olduğumuzu düşünüyorum. "Eşdeğerlik" ne demek tamamen açık değildir çünkü iki tanım farklı dünyalarda veya farklı modellerde yatmaktadır. Ancak, "denklik" düzgün bir şekilde tanımlanırsa, bence Osborne tanımını anlayabilir ve aslında bir NE'ye "eşdeğer" olduğunu gösterebilir.

Alıntılanan bölümün altında yatan çözüm kavramı aşağıdaki gibi olacaktır:

İnanç dengesi (BE):> Tüm oyuncu için bir strateji profili ve bir inanç profili$s^*$$b^*$$i$

$$u_i ( s^*_i ~|~ s_{-i} = b^*_{i}) \geq u_i ( s' ~|~ s_{-i} = b^*_{i}) \text{ for all } s' \in S_i$$ ve $$b^*_i = s^*_{-i}$$

Şimdi herhangi bir "denklik" ifadesine ulaşacak olursak sorun şu ki, bir yandan ... inançları olan bir dünyada "yaşayan" BE ve diğer yandan bir dünyada yaşayan NE fikrine sahip olmamız ... inançtan muaf. Peki "NE BE" gibi bir denklik ifadesi ne anlama gelir?$\Leftrightarrow$

1) BE NE$\Rightarrow$

Çıkarımın bu yönü muhtemelen tartışmalıdır, çünkü daha karmaşıktan daha basit bir modele geçiyoruz. "Her BE bir NE'dir", tek başına bir BE'nin denge stratejisi profiline bakarsak (yani destekleyici inanç profili olmadan ), bir NE olması gerektiği anlamına gelmelidir. Durumun böyle olup olmadığı kontrol edilebilir.$p$

2) NE BE$\Rightarrow$

Bu zor kısmı. "Her NE bir BE'dir" ne demektir? OP'nin karşı örneğiyle gösterdiği gibi, kesinlikle "bir NE artı herhangi bir inanç profili bir BE" değildir. Yine de, "herhangi bir NE bir inanç profili için bir BE yapılabilir" durumudur . Bence bu anlamda Osborne'un "denklik" iddiasını anlamalıyız

Aşağıdaki "eşdeğerlik benzeri" ifadeye de sahip olduğumuza dikkat edin: "Oyunun sonucu , yalnızca ve ancak BE sonucu ise NE sonucudur".