Kişi başına varyallarla ifade edilen bir büyütme programı - Ramsey modeli

Aşağıdaki programla büyütülecek bir sorunum var

m a x \int_{0}^{\infty} {u (C) + β S^{χ}} e^{- ρ t} d t

$max\int_{0}^{\infty}\left\{ u\left(C\right)+\beta S^{\chi}\right\} e^{-\rho t}dt$

\dot{K} = A K - C

$\dot{K}=AK-C$

\dot{S} = (1 - S) S - γ A K

$\dot{S}=\left(1-S\right)S-\gamma AK$

burada fiziksel sermayedir , doğal sermayedir. Tüm büyük harfler, toplam değişkenleri temsil eder. Ekonomi, doğal sermayeyi olumlu bir fırsat olarak değerlendirir ve doğal sermaye, fiziksel sermaye birikiminden oranında olumsuz etkilenir . $K$ $S$ $\gamma$

Sürekli sabit durum değerlerine sahip olmak istediğim için bu programı kişi başına değişkenlerle ifade etmeye çalışıyorum . Nüfusun oranında büyüdüğünü unutmayın . ( ile ) Fiziksel büyük harf için kolaydır. $n$ $L(t)=L(0)e^{nt}$ $L(0)=1$

Gibi bir şeyim olacak

\dot{k} = A k - n k - c

$\dot{k}=Ak-nk-c$

$S^{\chi}$

Tüm maksimizasyon programlarını kişi başına düşen değişkenlerle ifade etmenin bir yolu var mı? Vereceğin ipuçların ya da çözümlerin varsa gerçekten çok sevinirim. Veya kişi başına düşen değişkenlerle ifade etmek mümkün değilse, sebebini bilmek beni mutlu edecektir. Teşekkürler!

economic-growth environmental-economics

— optimal kontrol
kaynak

Yanıtlar:

$S \equiv sL$

\dot{S} = (1 - S) S - γ A K

$\dot{S}=\left(1-S\right)S-\gamma AK$

⟹ \frac{d (s L)}{d t} = (1 - s L) s L - γ A k L

$\implies \frac {d(sL)}{dt} = (1-sL)sL - \gamma AkL$

⟹ \dot{s} L + s \dot{L} = s L - s^{2} L^{2} - γ A k L

$\implies \dot sL + s\dot L = sL - s^2L^2 -\gamma AkL$

$L$

\dot{s} + s n = s - s^{2} L - γ A k

$\dot s + sn = s - s^2L -\gamma Ak$

$L=e^{nt}$

\dot{s} = (1 - n) s - s^{2} e^{n t} - γ A k

$\dot s = (1-n) s - s^2e^{nt} -\gamma Ak$

Bunu sıfıra eşit ayarlayarak, cinsinden ikinci dereceden bir polinomuz var. $s$

\dot{s} = 0 ⟹ e^{n t} s^{2} - (1 - n) s + γ A k = 0

$\dot s = 0 \implies e^{nt}s^2 - (1-n) s + \gamma Ak=0$

$t$ $s$ $k$ $k$

Öyleyse, buradaki tüm değişkenler, tüketim, sermaye ve doğal kaynaklar için "kişi başına düşen istikrarlı bir duruma" sahip olamayacağınız anlaşılıyor . Büyük olasılıkla tüketim ve sermayeyi sürekli sabit durum değerlerinde tutabilirsiniz; kişi başına en azından doğal kaynak tükenmeye tükenir (ancak bunun zamanlar arası fayda maksimizasyonu için optimal olduğunu göstermeniz gerekir).

— Alecos Papadopoulos
kaynak

$s = S/N, k = K/N$

$\dot{S} = S -S^2 -\gamma AK \implies \frac{\dot{s}}{s} = 1 - sN - \gamma A\frac{k}{s} \implies \frac{\dot{s}}{s} = 1 - s - \gamma A\frac{k}{s}$

Aynı şekilde yardımcı fonksiyon için de düşünüyorum.

— erik
kaynak

n

$n$

Evet. Demek istediğim, eğer N (t) = 1 olduğunu varsayarsak, popülasyon büyüyse bile (1'in ötesinde), N (t) sizin hareket denkleminizden kaybolacaktır. Kabul ediyorum yöntemim biraz kaba.

— erik

Ben anlamıyorum. N (t) sabit değildir, zamanla gelişir. Birin ötesine geçerse, nasıl kaybolabilir?

— optimum kontrol

Bu arada, n = 0 olabilir. Bu durumda, seviye değişkenleri zaten kişi başına N (t) = 1

— erik

Evet, şimdi anladım. Cevabımı düzenleyeceğim.

— erik