Lagrangian: Ne zaman bütçe kısıtlaması indirim yapılır?

Lagrangianı zamanla-arası sınırlı kısıtlama optimizasyon problemlerinde kurma konusunda biraz kafam karıştı. Bu karışıklık, bir dönemlik bütçe kısıtlamasının ne zaman Beta indirim faktörü ile çarpıldığı ve / veya topluluğa ne zaman dahil edildiğidir. İşte demek istediğim. Bu ilk örnekte:

kısıtlama Beta ile veya toplamın bir parçası ile çarpılmaz. Şimdi, örnek 2'de:

kısıt, indirim faktörü Beta ve zamanlararası toplamın bir kısmı ile çarpılır. Neden bu fark? İki dava bir seferde kısıtlamalara maruz kalan her ikisi de oldukça eşit değil mi? Gördüğüm tek fark, varlıklara olan faiz oranının gerçekleştiği zamandır, fakat bunun önemi olmamalı mı? (?) Ayrıca bir dönem kısıtlamanın zaman içinde toplandığı, ancak Beta tarafından iskonto edilmediği (daha sonra bulursam bir resim yükler) üçüncü bir vaka buldum. Sonuç olarak: Buradaki kural nedir? Neyi kaçırıyorum?

DÜZENLE:

Örnek 1'i takip eden FOC'lere bakıldığında, yazarın Lagrange Çarpanının toplamın bir parçası olduğu, ancak Beta tarafından indirgenmediği anlamına geldiği açıktır. Bu aşağıdakilerden açıktır:

Yani bu gerçekten bana ikinci örneğe göre farklı bir formülasyon gibi görünüyor. Bununla birlikte, "komik" şey, her iki durumda da aynı sonucu elde etmenizdir (yani aynı Euler Denklemi).

Kısıt, her dönemdeki amaç fonksiyonunun bir parçasıdır. Bu yüzden, doğal olarak, indirime tabidir ve bu nedenle "beta ile çarpılması" gerekir.

Bu yüzden yukarıdaki ilk kurulum yanlıştır (ya da sadece bir yazım hatası: belirli bir yayında verilen çözümün yukarıdaki görüntüyü takip edip etmediği ya da gerçekte kısıtlamanın beta ile çarpıldığı anlamına gelip gelmediği kontrol edilmelidir).

OP’nin görevinde belirtilen “üçüncü durum” farklı bir meseledir. Orada kısıtlamayı "sıkıştırıyoruz", bu yüzden burada toplam çarpanın dışında ve zaman içinde tek çarpanın, bu durumda tek çarpanın bugünkü değer çarpanı olduğu anlayışıyla. Bu tamam, örneğin optimal vergilendirme ile ilgili bazı makroekonomik modeller üzerinde yapılır.