Eşitlik ilişkisi hakkında şüphe


0

Sınıfta şöyle tanımlanan denklik ilişkileri hakkında notlar alıyordum:

Genel bir ilişki göz önüne alındığında, R ile ilgili X , xIy ise hem xRy ve yRx

Şimdi, şu önermeyi gerçekten anlamıyorum:

Eğer R (orijinal ilişki) dönüşlü ve geçişli ise, I (türetilmiş ilişki) dönüşlü, simetrik ve geçişlidir.

Ayrıca, nasıl olduğunu kanıtlayan iki özelliklere sahip neden aynı iki özellikleri + simetriye sahip?RI

Yanıtlar:


3

Sorularınızın şöyle olduğuna inanıyorum:

S1. neden simetrik değil?

S2. Neden (a) simetriktir; (b) dönüşlü; ve (c) geçişli mi?

Yanıtlar:

A1. Farz edelim ki . Ardından, Tanım 4'e göre (aşağıdaki temel kurulum ve tanımlara bakın), ve . Bu nedenle, aynı tanım, . Bu nedenle, simetrik değildir.xyx y y ̸ x y x xyy≿̸xyx

A2. Let .x,y,zX

A2 (a) ve (Tanım 3) . xy xyyx yx

A2, (b) tarafından tanımı 2 , xx . Ve böylece, Tanım 3'e göre , xx .

A2 (c) varsayalım xy ve yz . (Bunu xz göstereceğiz .)

Tarafından Tanım 2 , elimizdeki xy ve yz . Ve şimdi geçişi ile , x1z .

Benzer şekilde, yx ve sahibizzy . Ve böylece bir daha geçişlilik tarafından Elimizdeki z2x .

Verilen 1 ve 2 ile, Tanım 3 , elimizdeki xz .


Temel kurulum ve tanımlar.

Tanım 1. Bir (ikili) ilişki R (küme X ):

  • Simetrik eğer tüm x,yX , xRyyRx ;

  • Tüm xX , xRx için ise dönüşlü ;

  • Geçişli tüm eğer x,y,zX , xRy ve yRz eder xRz .

Let X alternatiflerinin bizim kümesi olsun.

Tanım 2. Let üzerinde yansıyan ve geçişken bağıntı X .

zayıf tercih edilen bir ilişki olarak yorumluyoruz .

Tanım 3 xy ise xy ve yx .

Biz yorumlamak kayıtsızlık ilişkisi olarak.

Tanım 4. xy ise xy ve y≿̸x .

Biz yorumlamak kesinlikle tercih edilen-ilişkili olarak.


Zayıf tercih ilişkisinin tanımlayıcı özellikleri geçişliliği ve eksiksizliğidir. refleksivitesi bir sonuçtur.
Kenneth Rios

@KennethRios: Yansıtma işleminin bir sonuç olduğunu kanıtlamak zorunda kalmadan, soruları doğrudan ele almak istedim. Özellikle soru şu soruları içeriyordu: “Şimdi, şu önermeyi gerçekten anlamıyorum: Eğer (orijinal ilişki) yansıtıcı ve geçişli ise, o zaman I (türetilmiş ilişki) yansıtıcı, simetrik ve geçişli.RI "
Kenny LJ,

Emin. OP'nin yanlış olması durumunda sadece karışıklığı önleme, hem dönüşlü hem de geçişli olan tüm ilişkilerin tercih ilişkisi olduğunu düşünüyor.
Kenneth Rios

2

Eğer her iki xRy ve yRx x,yX , daha sonra kayıtsızlık ilişkisi I tanımına göre simetriktir. Simetrik ilişkilerin hepsi denklik ilişkileri değildir. Bununla birlikte, R aynı zamanda dönüşlü ve geçişli olduğu da verilir . Bu yüzden simetrik, yansıtıcı ve geçişli I sahibiz . Bu nedenle I veya , bir denklik ilişkisidir.

Bunu doğrulamak ç özelliklerinin tanımlarını kapalı okuyarak bir denklik ilişkisi olduğunu. R veya , ayrıca toplam bir ön sipariş olarak da bilinen (zayıf) bir tercih ilişkisidir. Toplam ön siparişler geçişli, eksiksiz ve bu nedenle dönüşlüdür.

R={(x,x),(y,y),(x,y)}X={x,y}xRyyRx

Sitemizi kullandığınızda şunları okuyup anladığınızı kabul etmiş olursunuz: Çerez Politikası ve Gizlilik Politikası.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.