Eşitlik ilişkisi hakkında şüphe

Sınıfta şöyle tanımlanan denklik ilişkileri hakkında notlar alıyordum:

Genel bir ilişki göz önüne alındığında, $R$ ile ilgili $X$ , $xIy$ ise hem $xRy$ ve $yRx$

Şimdi, şu önermeyi gerçekten anlamıyorum:

Eğer $R$ (orijinal ilişki) dönüşlü ve geçişli ise, $I$ (türetilmiş ilişki) dönüşlü, simetrik ve geçişlidir.

$\succsim$$\sim$$\succ$

Ayrıca, nasıl olduğunu kanıtlayan iki özelliklere sahip neden aynı iki özellikleri + simetriye sahip?$R$$I$

Sorularınızın şöyle olduğuna inanıyorum:

S1. neden simetrik değil?$\succ$

S2. Neden (a) simetriktir; (b) dönüşlü; ve (c) geçişli mi?$\sim$

Yanıtlar:

A1. Farz edelim ki . Ardından, Tanım 4'e göre (aşağıdaki temel kurulum ve tanımlara bakın), ve . Bu nedenle, aynı tanım, . Bu nedenle, simetrik değildir.$x \succ y$x ≿ y y ≿ ̸ x y ⊁ x ≻$x \succsim y$$y \not\succsim x$$y \not\succ x$$\succ$

A2. Let .$x,y,z\in X$

A2 (a) ve (Tanım 3) .$\hspace{10pt}$ $x\sim y$ $\hspace{10pt}$ $\iff$ $\hspace{10pt}$$x\succsim y$$y\succsim x$$\hspace{10pt}$ $\iff$ $\hspace{10pt}$$y\sim x$

A2, (b) tarafından tanımı 2 , $x \succsim x$ . Ve böylece, Tanım 3'e göre , $x \sim x$ .

A2 (c) varsayalım $x\sim y$ ve $y\sim z$ . (Bunu $x\sim z$ göstereceğiz .)

Tarafından Tanım 2 , elimizdeki $x\succsim y$ ve $y\succsim z$ . Ve şimdi $\succsim$ geçişi ile , $x\overset{1}{\succsim} z$ .

Benzer şekilde, $y\succsim x$ ve $z\succsim y$ . Ve böylece bir daha geçişlilik tarafından $\succsim$ Elimizdeki $z\overset{2}{\succsim} x$ .

Verilen $\overset{1}{\succsim}$ ve $\overset{2}{\succsim}$ ile, Tanım 3 , elimizdeki $x\sim z$ .

Temel kurulum ve tanımlar.

Tanım 1. Bir (ikili) ilişki $R$ (küme $X$ ):

• Simetrik eğer tüm $x,y\in X$ , $xRy \iff yRx$ ;

• Tüm $x\in X$ , $xRx$ için ise dönüşlü ;

• Geçişli tüm eğer $x,y,z\in X$ , $xRy$ ve $yRz$ eder $xRz$ .

Let $X$ alternatiflerinin bizim kümesi olsun.

Tanım 2. Let $\succsim$ üzerinde yansıyan ve geçişken bağıntı $X$ .

$\succsim$ zayıf tercih edilen bir ilişki olarak yorumluyoruz .

Tanım 3 $x \sim y$ ise $x \succsim y$ ve $y \succsim x$ .

Biz yorumlamak $\sim$ kayıtsızlık ilişkisi olarak.

Tanım 4. $x \succ y$ ise $x \succsim y$ ve $y \not\succsim x$ .

Biz yorumlamak $\succ$ kesinlikle tercih edilen-ilişkili olarak.

Eğer her iki $xRy$ ve $yRx$ $\forall x,y \in X$ , daha sonra kayıtsızlık ilişkisi $I$ tanımına göre simetriktir. Simetrik ilişkilerin hepsi denklik ilişkileri değildir. Bununla birlikte, $R$ aynı zamanda dönüşlü ve geçişli olduğu da verilir . Bu yüzden simetrik, yansıtıcı ve geçişli $I$ sahibiz . Bu nedenle $I$ veya $\sim$ , bir denklik ilişkisidir.

Bunu doğrulamak $\sim$ ç özelliklerinin tanımlarını kapalı okuyarak bir denklik ilişkisi olduğunu. $R$ veya $\succsim$ , ayrıca toplam bir ön sipariş olarak da bilinen (zayıf) bir tercih ilişkisidir. Toplam ön siparişler geçişli, eksiksiz ve bu nedenle dönüşlüdür.

$R = \{(x,x), (y,y), (x,y)\}$$X = \{x,y\}$$xRy$$yRx$