Sorularınızın şöyle olduğuna inanıyorum:
S1. neden simetrik değil?≻
S2. Neden (a) simetriktir; (b) dönüşlü; ve (c) geçişli mi?~
Yanıtlar:
A1. Farz edelim ki . Ardından, Tanım 4'e göre (aşağıdaki temel kurulum ve tanımlara bakın), ve . Bu nedenle, aynı tanım, . Bu nedenle, simetrik değildir.x ≻ yx ≿ y y ≿ ̸ x y ⊁ x ≻x ≿ yy̸ ̸ xy⊁ x≻
A2. Let .x , y, z∈ X
A2 (a) ve (Tanım 3) . x∼y ⟺ x≿yy≿x ⟺ y∼x
A2, (b) tarafından tanımı 2 , x≿x . Ve böylece, Tanım 3'e göre , x∼x .
A2 (c) varsayalım x∼y ve y∼z . (Bunu x∼z göstereceğiz .)
Tarafından Tanım 2 , elimizdeki x≿y ve y≿z . Ve şimdi ≿ geçişi ile , x≿1z .
Benzer şekilde, y≿x ve sahibizz≿y . Ve böylece bir daha geçişlilik tarafından ≿ Elimizdeki z≿2x .
Verilen ≿1 ve ≿2 ile, Tanım 3 , elimizdeki x∼z .
Temel kurulum ve tanımlar.
Tanım 1. Bir (ikili) ilişki R (küme X ):
Simetrik eğer tüm x,y∈X , xRy⟺yRx ;
Tüm x∈X , xRx için ise dönüşlü ;
Geçişli tüm eğer x,y,z∈X , xRy ve yRz eder xRz .
Let X alternatiflerinin bizim kümesi olsun.
Tanım 2. Let ≿ üzerinde yansıyan ve geçişken bağıntı X .
≿ zayıf tercih edilen bir ilişki olarak yorumluyoruz .
Tanım 3 x∼y ise x≿y ve y≿x .
Biz yorumlamak ∼ kayıtsızlık ilişkisi olarak.
Tanım 4. x≻y ise x≿y ve y≿̸x .
Biz yorumlamak ≻ kesinlikle tercih edilen-ilişkili olarak.