İktisat teorisinde topolojik kavramlar

SORU: 1960 sonrası matematiğin mikroekonomiye başlıca veya sistematik uygulamaları nelerdir?

Örneğin, 19. yüzyılın sonlarında Fisher ilk önce Gibbs'ın matematiksel fikirlerini modern fayda teorisini inşa etmek için kullandı. 20. yüzyılda Mas-Colell genel dengeyi incelemek için topolojik fikirleri birleştirdi. Peki ya 20. yüzyılın sonu, 21. yüzyılın başı?

Örneğin, yönlendirilmiş grafik teorisi, ölçü teorisi, topoloji, kategori teorisi ve modern homoloji veya kohomoloji, topos yöntemleri, fonksiyonel entegrasyon vb.

Not 1 : Modelleme olmadan ekonometri / istatistikler hariç tutulmuştur. Orada kullanılan tek modern matematik, rastgele analiz teorisi ve karmaşık analizle çözülen ergodik problemdir. RW ve EP ekonomiye özgü değildir.

Herhangi bir uygun ekonomi yayını bir cevaptır. Bu, aynı zamanda, kesin olarak ekonomi dışı dergilerde, örneğin Matematik Psikolojisi Dergisi'nde yayınlananları da kapsamaktadır .

Not 2 : Evet, biliyorum, bu tür işler daha nadirdir (belirsizlikle karıştırılmamalıdır: bazıları iyi bilinir). Yayınlandığında böyle bir referansı kaçırmayı kolaylaştıran şey budur. Dolayısıyla soru.

Ölçüm teorisi uygulamaları için ortaya çıkan önemli bir alanın yaklaşık dinamik programlama tekniklerinde olacağından şüpheleniyorum. Yaklaşık dinamik programlama (diğer bir deyişle bilgisayar bilimi literatüründe "pekiştirme öğrenimi"), dinamik programlama literatürünün son ~ 10-20 yılındaki araştırma çalışmalarının yönü olmuştur. Ekonomi henüz bu gelişmelerin bir kısmını benimsemeye başladı. DP literatürünün yönü için, Bertsekas'ın dinamik programlama serisinin en son 4. baskı genişlemesine ya da Powell'ın Yaklaşık DP: Boyutsallık Lanetini Çözme'ye bakın .. Ekonomistler bu araçların bazılarını doğrudan ve dolaylı olarak almaya başlıyorlar ve sanırım önümüzdeki birkaç yıl içinde edebiyat üzerinde giderek artan bir etkisi olacak. Bu yöntemlerin yakınsamasının analitik arka planlarından bazıları topoloji ve dinamik sistemlerdir.

Ekonomistlerden bu tür literatüre teorik katkıların iyi bir örneği Pál ve Stachurski (2013), Olasılıkla Kıymetli Değer Fonksiyonu İterasyonu ( burada açıklanmamış versiyon ). Bu makaleyi inceleyin ve iyi bir ölçü teorisi kavramının önemini görebilirsiniz. Stachurski'nin Ekonomik Dinamikleri kitabı aslında bu bakış açısından dinamik programlamanın çok güzel bir sergisidir, çok sayıda lisansüstü öğrenci / profesyonel için çalışan bir hızda inşa ediyor (ölçü teorisi sonunda resmen geliyor inanıyorum - hala doğru çalışıyorum bu anlayışlar).

Umarım bu soruya bir dereceye kadar cevap verir. Korkarım ki "1960 sonrası matematik" ifadesi benim için biraz belirsiz (matematik edebiyatı tarihinin kendi bilgim eksikliğinden dolayı), bu yüzden işareti tamamen özlediysem, özür dilerim!

Bu yorum için çok uzundu. "1960 sonrası" mikro teori de dahil olmak üzere uygulamalı bir alan için keyfi ve çok yüksek bir çubuk gibi görünüyor . Adını verdiğiniz konuların çoğu çağdaş matematik olarak kabul edilmez. Örneğin ölçü teorisi Lebesgue'in teziyle başladı ve asırdan eski. Topoloji daha da eskidir ve homoloji gruplarını tanıtan Poincare ile başlamıştır. Her ikisi de bugün matematik gibi lisans öğrencilerine öğretilmektedir. (Mas-Colell ve arkadaşları tarafından GE'de kullanılan matematik, topoloji yerine analizdir.)

20. yüzyılın ortalarından bu yana modern matematiği uygulamalı topluluğa yönlendiren araştırma programlarının dışsallığı en iyi ihtimalle dolaylıdır. Örneğin, değişmeli olmayan geometri, Langland'ın programı, Poincare varsayımı, Baum-Connes varsayımı, ikiz ana varsayım (bu sorunlar hakkında ilerleme için 1960 sonrası saha madalyaları vb.) Tarafından motive edilen bakış açısı ve teknikler. --- muhtemelen hiçbir zaman matematik dışında görülmeyecektir. Matematiksel finans, elbette, matematik olarak kalmaktadır, ancak bu ekonomik açıdan oldukça kaldırılmıştır.

Düzenle Sorunuzu doğrudan ele alarak, topolojinin sosyal seçim teorisine Chichilnisky, et. ark. İşte bir topolog tarafından konuyla ilgili bir JET makalesi:

http://math.uchicago.edu/~shmuel/TSC.pdf .

Belki topoloji konusunda uzman biri daha fazla yorum yapabilir.

Loeb uzayları , ajanların sürekliliği olan durumları modellemek için kullanılmıştır. Http://eml.berkeley.edu/~anderson/Book.pdf ve Sun'ın Çalışma Matematikçileri için Standart Olmayan Analiz kitabındaki ekonomik uygulamalar hakkındaki bölümlerine bakın .

Tedbir teorisi, adil bölünme probleminde yaygın olarak kullanılmaktadır (diğer bir deyişle "kek kesme"). Ekonomi dergilerinde adalet hakkındaki birçok makaleye bakınız .

Belirli bir örnek için, bkz. Tatsuro Ichiishi ve Adam Idzik, "Bölünebilir malların eşit tahsisi", JME 1999 .

Michael'ın bahsettiği Chichilnisky'nin çalışmalarının yanı sıra, sosyal seçim teorisinde topolojinin ilginç bir başka kullanımı Redekop'un Arrow'un ekonomik alanlardaki teoremi üzerindeki çalışmasında ortaya çıkıyor.

• Redekop, J. (1991). Sosyal refah kısıtlı ekonomik alanlarda işlev görür. İktisat Teorisi Dergisi, 53, 396-427.
• Redekop, J. (1993a). Ok tutarsız ekonomik alanları. Toplumsal Seçim ve Kendisi, 10, 107-126.
• Redekop, J. (1993b). Ekonomik tercihlerin bazı alanlarında anket topolojisi. Matematiksel İktisat Dergisi, 22, 479-494.
• Redekop, J. (1993c). Parametrik alanlarda sosyal refah fonksiyonları. Toplumsal Seçim ve Kendisi, 10, 127-148.
• Redekop, J. (1995). Ekonomik ortamlarda ok teoremleri. WA Barnett, H. Moulin, M. Salles ve NJ Schofield (Eds.), Sosyal seçim, refah ve etik (s. 163-185). Cambridge: Cambridge Üniversitesi Yayınları.
• Redekop, J. (1996). Karma ürünler, stokastik ve dinamik ekonomik ortamlarda ok teoremleri. Sosyal Seçim ve Refah, 13, 95–112.

Arrow'un imkansızlık teoremi başlangıçta soyut bir alternatif kümesi için kanıtlanmış ve bu alternatifler grubu üzerindeki olası her tercih profiline izin verilmiştir. Redekop'un (ve diğerlerinin) sorduğu soru şuydu: alternatifler mal demetleri olduğunda ve ajanın bu mallar (monotonik, dışbükey, sürekli, bencil, ...) üzerinde "klasik" tercihleri ​​olduğunda Arrow teoreminin eşdeğeri.

Daha doğrusu soru, bu Ekonomik alanlarda üç Arrovian aksiyomunu (Alakasız Alternatifin Bağımsızlığı, Zayıf Pareto ve Diktatörlük Olmadan) tatmin eden bir sosyal refah işlevinin olup olmayacağıydı (bkz. Le Breton, Michel ve John A. Weymark. " Bölüm Onyedi-Arrovian'ın Ekonomik Alanlar Üzerine Sosyal Seçim Teorisi.

Kabaca, Redekop'un çalışmaları, bu ekonomik sorunların bazıları için, bir tercih alanı bir Arrovian sosyal refah işlevini kabul ederse, alanın bir miktar topolojik anlamda "küçük" olması gerektiğini göstermektedir. Örneğin, Redekop'ta (1991), anket topolojisini adlandırdığı tercih kümeleri üzerinde ustaca bir topoloji ortaya koydu ve bir kamu malları ekonomisinde, bir tercihler alanı bir Arrovian sosyal refah fonksiyonunu kabul ederse, alanın bu topolojiye göre hiçbir yerde yoğun olmamalıdır (yani alan adının kapatılması açık küme içermez).