Lagrange çarpanlarını anlamada yardım?

Lagrangian çarpanlarını anlamaya çalışıyorum ve çevrimiçi bulduğum örnek bir problemi kullanıyorum.

Sorun Ayarlama:

fonksiyon işlevine sahip bir tüketici düşünün burada . Bu tüketicinin zenginliği ve fiyatları olduğunu varsayalım . Tüm bunlar bize verildi.$u(x,y) = x^{\alpha} y^{1-\alpha}$$\alpha \in (0,1)$$w$$p =(p_x,p_y)$

Yaptığım İş:

Daha sonra bir bütçe kısıtlama denklemi tanımladım: . Daha sonra, tüketicinin maksimize etme sorunu için ilişkili bir Lagrangian tanımladım: . Λ ( x , y , λ ) = x α y 1 - α + λ ( ( x p x + y p y ) - w $w = xp_x + yp_y$$\Lambda(x,y,\lambda) = x^{\alpha} y^{1-\alpha} + \lambda ((xp_x+yp_y)-w)$

Benim sorum:

Bu denklem ne yapmama izin veriyor? Her ne kadar Wikipedia'nın Lagrangian çarpanları sayfasında formül vermiş olsam da, bu denklemin amacının ne olduğu hakkında hiçbir fikrim yok. Sanki verilen denklemin fayda fonksiyonumu nasıl en üst düzeye çıkaracağımı belirlememe izin verdiğini anlamıyorum.

Not: Fizikte çok değişkenli analiz ve Lagrange ( ) hakkında bilgim var , ancak bu yöntem benim için yeni.$L = T -V$

Kısıtlı optimizasyon işlevi, bir veya daha fazla kısıtlamaya maruz kalan bir nesneyi en üst düzeye çıkarır veya en aza indirir. Anladığım kadarıyla, Lagrangian çarpan yaklaşımı, kısıtlanmış bir optimizasyon problemini (I), problem II için optimal kontrol değerlerinin de problem I için optimal kontrol değerleri olduğu sınırlandırılmamış bir optimizasyon problemine (II) dönüştürür. Ek olarak, I ve II problemleri aynı optimal değerleri alır. Hile, kısıtlamaları ayrı ayrı kullanmak yerine doğrudan nesnel işleve koymanın akıllıca bir yoludur.

Tüketicinin maksimizasyon problemini sunmanıza katılıyorum: .$\Lambda(x,y,\lambda) = x^{\alpha} y^{1-\alpha} + \lambda ((xp_x+yp_y)-w)$

Şimdi x ve y'ye göre kısmi türevleri alıyoruz, sıfıra eşitliyoruz ve sonra x * ve y * için çözüyoruz.

$0=\partial\Lambda / \partial x = \alpha x^{\alpha -1 } y^{1-\alpha} + \lambda p_x = (\alpha / x ) x^{\alpha } y^{1-\alpha} + \lambda p_x$

$\Rightarrow -\lambda = (\alpha / (x p_x)) x^{\alpha } y^{1-\alpha}$

$0 =\partial\Lambda / \partial y = (1 - \alpha) x^{\alpha} y^{-\alpha} + \lambda p_y = ((1 - \alpha) / y ) x^{\alpha } y^{1-\alpha} + \lambda p_y$

$\Rightarrow -\lambda = ((1- \alpha) / (y p_y)) x^{\alpha } y^{1-\alpha}$

$\Rightarrow (\alpha / (x p_x)) x^{\alpha } y^{1-\alpha} = -\lambda = ((1- \alpha) / (y p_y)) x^{\alpha } y^{1-\alpha}$

$\Rightarrow (\alpha / (x p_x)) = ((1- \alpha) / (y p_y))$

$\Rightarrow ( y p_y ) / (1- \alpha) = (x p_x) / \alpha$ (eqn 1)

kısmi türevini alarak bütçe kısıtlama denklemini kurtarın .$\partial\Lambda / \partial \lambda = 0$

$0 = \partial\Lambda / \partial \lambda = xp_x + yp_y - w \Rightarrow xp_x / w + yp_y /w = 1$ (eşd. 2)

Şimdi iki denklemimiz ve iki bilinmeyenimiz var (x, y) ve x * ve y * için çözebiliriz.

$\Rightarrow yp_y / w = xp_x/w \cdot (1 / \alpha - 1) = xp_x/w / \alpha - xp_x/w$

$\Rightarrow 1 = yp_y / w + xp_x/w = xp_x/w / \alpha$

$\rightarrow \alpha = xp_x/w$ (sonuç 1)

$\Rightarrow \alpha = xp_x/w = 1 - yp_y /w$

$\rightarrow 1-\alpha =yp_y/w$ (sonuç 2)

Sonuçlar 1 ve 2, Cobb-Douglas kamu hizmetleri ve üretim fonksiyonları için bilinen sabit harcama payları sonucunu oluşturmaktadır. Bu aynı zamanda x * ve y * için açık bir şekilde çözülebilir: ve , hem Lagrangian hem de orijinal problemler için en uygun değerlerdir.y ∗ = ( 1 - α ) w / p $x^* = \alpha w /p_x$$y^* = (1-\alpha) w /p_y$

Bu, sezgi içindir, titizlik için değildir ve kısıtlamadan hangi yoldan sapmak istediğinizi bildiğimizi varsayar. Burada kolay; fazla abartmak istersiniz, bu yüzden Lagrange'ı sizi çok harcamaktan disiplin etmeye çağırıyoruz . Aşağıdaki adımlarda sorunu düşünün:$w$

1. Dışarı çıkıp pizza ( ) ve bira ( ) tüketmek ve ebeveynlerinizden kredi kartı ödünç almasını istiyorsunuz.$x$$y$
2. Ailen bu yüzden aşağıdaki uyarıyı almak kredi kartı ile, biliyorum: Birden fazla harcarsanız , biz bir ağrı değerinde teslim bizim kötü komşumuz Sn Lagrange parmaklarınızı şaplak izin verir dolar başına sizi yarar birimlerini fazla harcama.$w$$\lambda$
3. Lagrange'ye bakın; pizza ( ), bira ( ) ve ağrı ( ) fonksiyonu olarak artık ceza kullanım . Sizin bakış , verilen için bunu en üst düzeye çıkarırsınız (bu, özellikle, çok küçükse, bütçenizi kaba bir şekilde aşmanın Bay Lagrange'dan az sayıda tokata değeceği anlamına gelir ).y λ ⋅ ( x p x + y p y - w ) λ $x$$y$$\lambda\cdot(xp_x+yp_y-w)$$\lambda$$\lambda$
4. Ailenizin bakış açısına göre, , gönüllü olarak harcamayı seçerek , Bay Lagrange'ı körfezde bırakarak gönüllü olarak ayarlamak için ayarlamak isterler . ( daha yüksek seçilmesi size harcama yapmanıza neden olur, yorumu buna göre ayarlayabilirsiniz.)w $\lambda$$w$$\lambda$
5. Tabii ki, daha sonra ek tüketim ve ceza paketine sahip olmak ve sahip olmamak arasında kayıtsız kalacağınız seviyeyi seçeceksiniz. Bu nedenle gölge fiyat yorumu: (daha kesin olarak: birinci dereceden yaklaşık) ne kadar ödemek istediğinizi - objektif işlevinizle aynı birimlerde! bütçenizi artırmak için.$\lambda$

Kısıtlama işaretini değiştirme önerisine gelince: elbette matematiksel olarak çalışır, ancak bunu talimat amacıyla neredeyse hiç kullanmam; olduğu gibi bırakarak, , aynı nedenden ötürü bir vergiye eşdeğer olarak bir kısıtlama (beğenmediğiniz, hizmetinizi azaltır ortaya çıkarır . Ekonomik açıdan, bir vergi tarafından uygulanan kısıtlama fikrini elde edersiniz ve bu, örneğin Pigouvian vergilerin içselleştirilmesini (istenmeyen negatif) dışsallıkları modellemede öğreticidir.$u-\lambda(xp_x+yp_y-w)$

Bir işlevi kısıtlamalar altında optimize etmek için Lgrange çarpanlarını kullanmak yararlı bir tekniktir , ancak sonunda ek içgörü ve bilgi sağlar. Eşitlik kısıtlamalarına bağlı kalmak, sorun

$$\max_{(x,y)} u(x,y) = x^{\alpha} y^{1-\alpha},\;\; \alpha \in (0,1)$$ $$\text {s.t.} \;\;w = p_xx + p_yy$$

tabi ki doğrudan ikame ile kısıtsız bir problemde dönüştürülebilir:

$$\max_{y} u(x,y) = \left(\frac {w-yp_y}{p_x}\right)^{\alpha} y^{1-\alpha},\;\; \alpha \in (0,1)$$

Ancak genel olarak, doğrudan ikame cebirsel bir hatanın kolayca yapılabileceği hantal ifadeler (özellikle dinamik problemlerde) üretebilir. Yani Lagrange yönteminin burada bir avantajı var. Ayrıca, Lagrange çarpanının anlamlı bir ekonomik yorumu vardır. Bu yaklaşımda, yeni bir değişken, mesela tanımlıyoruz ve "Lagrangean fonksiyonu" nu oluşturuyoruz$\lambda$

$$\Lambda(x,y,\lambda) = x^{\alpha} y^{1-\alpha} + \lambda (w-p_xx-p_yy)$$

İlk olarak, not bu olan eşdeğer için sağa ilave parça aynı sıfır olduğundan,. Şimdi Lagrange'yi iki değişkene göre maksimize ediyoruz ve birinci dereceden koşulları elde ediyoruz$\Lambda(x,y,\lambda)$$u(x,y)$

$$\frac {\partial u}{\partial x} = \lambda p_x$$

$$\frac {\partial u}{\partial y} = \lambda p_y$$

eşit olarak , bu temel ilişkiyi hızla sağlar$\lambda$

$$\frac {\partial u/\partial x} {\partial u/\partial y}= \frac {p_x}{p_y}$$

Bu optimal ilişki, bütçe kısıtı ile birlikte, iki bilinmeyenli bir iki denklem sistemi sağlar ve böylece ekzojen parametrelerin (fayda parametresi , fiyatlar bir fonksiyonu olarak çözümü sağlayın ve verilen zenginlik ).$(x^*, y^*)$$\alpha$$(p_x,p_y)$$w$

değerini belirlemek için , her birinci dereceden koşulu sırasıyla ve çarpın ve ardından elde etmek için kenarlarla toplayın$\lambda$$x$$y$

$$\frac {\partial u}{\partial x}x+\frac {\partial u}{\partial y}y = \lambda (p_xx+p_yy) = \lambda w$$

Birinci derece homojen kullanımda, Cobb-Douglas fonksiyonlarında olduğu gibi,

$$\frac {\partial u}{\partial x}x+\frac {\partial u}{\partial y}y = u(x,y)$$

ve böylece optimum pakette

$$u(x^*,y^*) =\lambda^*w$$

Ve Lagrange çarpanı ekonomik olarak anlamlı bir yorumlama elde eder: değeri servetin marjinal faydasıdır . Şimdi, sıralı fayda bağlamında , marjinal fayda gerçekten anlamlı değildir (buradaki tartışmaya da bakınız ). Ancak yukarıdaki prosedür, örneğin Lagrange çarpanının, toplam miktardaki artışı üretilen miktardaki marjinal bir artışla yansıttığı ve bu da Marjinal Maliyet olduğu bir maliyet minimizasyon problemine uygulanabilir.

Bu cevap paragrafını paragraflar halinde incelemenizi, her birini sırayla aldığınızdan emin olmanızı öneririm, yoksa kafanız karışır. Amacınız için gerekli değilse daha sonra göz ardı etmek isteyebilirsiniz.

Ana fikir duymak şudur ki, bu durum koşulluysa, tümüyle Lagong'un sabit bir noktasıdır, yani böyle bir nokta, Lagrange'nin tüm kısmi türevlerinin içinde sıfır olmasıdır. Sorunu çözmek için tüm sabit noktaları tanımlamalı ve aralarında maksimum değeri bulmalısınız.

Bununla birlikte, bu reçete genellikle maksimum olmayabilir, çünkü güvenilir değildir. Genellikle Weierstrass teoremiyle varlığını doğrulayabilirsiniz. Burada kurgunun sürekli ve setin kompakt olması gerekir. Genel olarak, söz konusu kümenin sınır noktalarını, ve noktalarını kontrol etmeniz gerektiği anlamına gelir .$x= 0$$y = 0$

Bu durumda, düşündüğünüz küme eşitliklerden ziyade eşitsizliklerle tanımlandığı için denkleminiz çözüm için yetersizdir. Bu fonksiyonun ve cinsinden monotonik olduğunu ve maksimumun sağ üst sınırda olduğunu belirtebilirsiniz . Ayrıca veya ise yardımcı program , ancak kesinlikle pozitif olduğu uygun noktalar vardır, bu nedenle maksimum değere sol veya alt sınırlarda ulaşılamaz. O zaman bu yaklaşım tamamen haklıdır.$x$$y$$x = 0$$y=0$

Gelecekte, böyle bir türün genel olarak Kuhn-Tucker Teoremi uygulanarak çözülmesi gerektiğinin farkında olmalısınız ve bu malzemeyi kavradıktan sonra bunu tanımanızı tavsiye ederim.

Diğerlerinin belirttiği gibi, Lagrange yönteminin özü, kısıtlanmış bir ekstremum problemini, serbest ekstremum probleminin FOC'sinin uygulanabileceği bir forma dönüştürmektir. Kurulumunuzda, kısıtlanmamış sorunu ( ) şu şekilde dönüştürdünüz:$\max u(x,y)$

$$\Lambda = x^{\alpha} y^{1-\alpha} + \lambda (w-(xp_x+yp_y))$$

Kısıtlamanın karşılanacağını varsayarsanız, yani , son terim değerinden bağımsız olarak yok olur , böylece ile aynı olur . İşin püf noktası, ek bir seçim değişkeni olarak davranmaktır , böylece en üst düzeye çıkarmaktır . İlk sipariş koşulu yana olan$xp_x+yp_y=w$$\lambda$$\Lambda$$u$$\lambda$$\Lambda(x,y,\lambda)$$\lambda$

$$\frac{\partial Z}{\partial \lambda} = w-(xp_x+yp_y) = 0$$ kısıtlamanın memnuniyetinden ve emin olabiliriz .$\lambda$

Gelince yorumlama ait (Lagrange çarpanı), geniş ekonomik açıdan öyle gölge fiyat arasında inci kısıtlaması. Yalnızca bir bütçe kısıtlamasının bulunduğu kurulumunuzda, gölge fiyat bütçe kısıtlamasının fırsat maliyetidir, yani bütçe paranın marjinal faydasıdır (gelir).$\lambda_i$$i$

Bunu görmenin bir başka yolu, (bütçe) kısıtlamasındaki değişikliklere olan duyarlılığını ölçmesidir. Aslında kanıtlanabilir ki$\lambda$$\Lambda$

$$\frac{d\Lambda^*}{dw}=\lambda^*$$

Bu yorum için bu Bildirimi mantıklı her zaman olduğu gibi kısıtlamayı ifade olmalıdır , değil olarak (Kurulumunuzla yazdı gibi). w - ( x p x + y p y ) ( x p x + y p y ) - $\lambda^*$$w-(xp_x+yp_y)$$(xp_x+yp_y)-w$