Bir yardımcı program min (x, y) işlevi verilen talep işlevini bulma

Bir talep fonksiyonu bulma konusunda belirli bir konuda kafam karıştı. Yaptığım bu uygulamadaki tüm problemler, Lagrangian çarpanları yöntemini uygulamakla ilgiliydi. Ancak burada bu sorun için geçerli olup olmadığından emin değilim.

Sorun Ayarı

işlevine sahip bir tüketici düşünün . Biz zenginlik verilmiştir varsayalım ağırlık ve fiyat frac \ p_x = 1, p_y = {1} {2} .$u(x,y) = \min\lbrace x,y\rbrace$$w$$p_x = 1, p_y = \frac{1}{2}$

Benim işim

Henüz yapacak çok şey yok. Tek yaptığım bütçe kısıtı $w = xp_x + yp_y = x + \frac{1}{2} y$ .

Benim karışıklık

Birdenbire, fayda fonksiyonumun bir $\min$ fonksiyonu olduğunu fark ettiğimde Lagrangian çarpanı denklemini ayarlamaya başladım . İlk başta, bu fonksiyonun farklı olmadığını düşündüm. Şimdi, bunun farklılaşmayacağını düşünüyorum ama kısmen farklılaştırılabilir. Hala emin değilim.

Tahminimce

Sanırım evet $\min$ bu konuya göre kısmen farklı

https://math.stackexchange.com/questions/150960/derivative-of-the-fx-y-minx-y

Ancak cevabımın parçalı bir bileşene veya başka bir şeye ihtiyacı olacağından şüpheleniyorum.

Benim sorum

Lagrang çarpanları burada uygulanabilir mi? Öyleyse, Lagrangianı parça parça olarak nasıl yapmam gerektiğini düşündüğüm gibi tanımlarım? Farklılaştırılmazsa, biri veya işlevi verilen bir talep işlevini nasıl türetir ?$\min$$\max$

Hayır, burada Lagrange çarpanlarını kullanmamalısınız, fakat sağlam düşünmelisiniz. Diyelim ki , söyleyin . Let . Sonra Böylece tüketici kötü tüketimini azaltarak kötü 2 tüketimini azaltabilir. Öte yandan için , böylece tüketici daha iyi olabilirdi İkinci mal tüketimini azaltarak ve serbest parayı ilk mal için harcayarak. Bir optimumda, bir tüketici iyileşemez, bu yüzden optimallik gerektirir . Tüketicilerin boyunca geliştiği de açıktır$x\neq y$$x<y$$\epsilon=y-x$$\min\{x,y\}=x=\min\{x,x\}=\min\{x,y-\epsilon\}.$$\delta>0$$\min\{x+\delta,y-\epsilon/2\}>x=\min\{x,y\}$$x=y$$x=y$45 ° ışın. Bu nedenle, y'yi bütçe sınırlamanızın yerine koymak ve Lagrange çarpanlarını atlamak için bir optimallik koşulu olarak kullanabilirsiniz .$x=y$