Kazanç fonksiyonunun $ [10,20] $ olması ihtimalini bulun

Şu an $ t = 0 $ 'a, son kullanma tarihi olan $ T = 2 $ opsiyonunu satın aldık. Bu seçeneğin geri ödeme işlevi aşağıdakiler tarafından verilmektedir:

$$ f = (\ max_ {t \ [0, T]} S_t -110) ^ {+} $$

$ S_t $ uygun

$$ dS_t = 15dW_t $$ $$ S_0 = 95 $$

Olasılığını $ P (f [in, [10,20]) $ içinde bulun. Bunu ifade etmek için standart normal dağılımın kümülatif yoğunluk işlevini kullanın.

belli ki

$$ S_t = 95 + 15W_t $$

Fakat daha fazla nasıl gidebilirim hakkında hiçbir fikrim yok. Herhangi bir yardım lütfen?

stochastic-processes stochastic-calculus options-pricing

— luka5z
kaynak

Yanıtlar:

Genellikle:

$ P (f [10,20] 'de) = P (120 \ leq S_t \ leq 130) = P (S_t \ leq 130) - P (S_t \ leq 120) $ Yani, seçeneğin 10 ila yirmi arasında olması olasılığı, stokun 120 ila 130 arasında olması ile aynıdır. Stokun 120 ila 130 arasında olması olasılığı, stokun 130 eksi ihtimalinin altında olması ihtimalidir. 120'den az. Daha görsel bir kişiyseniz bu resmi düşünün: CDF to calculate interior prob

Kaynak MathWave

$ W_t $ 'ın şu süreksiz bir Wiener sürecini takip ettiğini biliyorsak:

$ W_t - W_0 \ sim N (0, 15 ^ 2t) \ sağduyu S_t \ sim N (95, 15 ^ 2t)

$ S_t \ sim N (95, 15 ^ 2t) $ ise $ P (S_t \ leq 130) = $ prob. ortalama 95 ve std ile normal bir rasgele değişken. sapma 15t, bu normal rastgele değişkenin kümülatif dağılım fonksiyonu (CDF).

Burada, bu CDF $ \ Phi ((x-95) / (15 \ sqrt (t))) $ 'dır, burada $ \ Phi $ standart normalin CDF'sidir. Yani cevap $$ \ Phi ((130-95) / (15 \ sqrt t)) - \ Phi ((120-95) / (15 \ sqrt t)) $$

Güncelleştirme: Bunun basit bir seçenek getirisi olduğunu düşünmüştüm, ancak bu aslında daha zor bir sorun çünkü 0'dan 2'ye kadar olan maksimum stok değerini alıyor. Wiener sürecinin kendisinden ziyade süreci harekete geçirir. Daniel Herlemont'un Stokastik Süreçleri ve İlgili Dağılımları , 2. bölüm biraz yardım almalı. Ancak şu anda bu soruna bir çözümüm yok.

— BKay
kaynak

Resim için teşekkürler. Ama $ T = 2 $ olduğu gerçeğini nerede kullanıyoruz?

— luka5z

Nihai denklemde $ t $ için 2 takın. Çözüm, tüm $ t $ içindir.

— BKay

Son şey - neden az önce $ \ max $ operatörünü bıraktık?

— luka5z

Oh oğlum, soruyu yanlış anladım. Geleneksel bir seçenek olarak maksimum st - 110 ve 0 olduğunu düşündüm. Bu geriye dönük bir seçenek ve geriye dönük seçeneğe kolayca bir çözüm sunabileceğimden emin değilim. Benim "cevaplı" durumumu elimden almalısın.

— BKay

sorun değil, olur

— luka5z

Belki de tamamen farklı bir matematiksel finans bilgisine aşinayım ama yine de iki sentimi düşüreceğim.

İlk önce, not al

$$ \ int d Wt $$

Stokastik bir integraldir ve standart yöntemlerle kolayca entegre edilemez. Umarım bir stokastik analiz aracı ile önceden ayarlanmışsınızdır.

Tahkimsizliğe dayalı aşağıdaki yöntem ilk önce Merton tarafından tanıtıldı.

$ \ Pi (S_0) $ ile gösterilen $ S_t $ fiyatına dayalı bir türev fiyatı ararız
$ DV_t = V_t (\ omega_t ^ s \ frac {dS_t) }) $, burada $ \ omega $, portföydeki iki ağırlığı belirtir
Bu ağırlıklar, stokastik bileşeni $ dW $ 'dan "öldüreceğimiz şekilde seçildi
Şimdi biz $ dV_t = V_t k dt $ var
Arbitraj olmadığından, $ k $ sıfır olmalıdır ($ S_t $ üzerinde bir büyüme bileşeni yoktur)
$ f $ için çözmek

— FooBar
kaynak