Nash dengesinin sonsuz stratejili oyunlara genişletilmesi

Jehle ve Reny ders kitabında (birkaç bölümden daha fazla okumadım) eklemeliyim, sonlu stratejik form oyunlarında her zaman (karma) bir Nash dengesi olduğunu belirten bir teorem kanıtlanmıştır. Kitap, tüm oyuncuların aynı sayıda eylemde bulunduğunu varsayar, ancak bunun doğru olmadığı durumlarda bunun nasıl genişletilebileceğini hayal etmek zor değildir.

Bununla birlikte, ilgilendiğim şey, bunun oyunların, özellikle de sonsuz seçeneklerin olabileceği yerlere bir uzantısı olup olmadığı. Örneğin, orada açıkça bir oyuncu en yüksek sayıda seçerek kazanır bir oyunda hiçbir denge, ama biz, örneğin, aynı oyun, ama sayı olmalıdır varsa içinde aralıklarla (veya herhangi bir aralık üst sınırını içeren), en iyi yanıt işlevi "birleştirmek". Benzer şekilde, rekabet modellerinde "iyi" sonuçlar elde etmek için "iyi niyetli" maliyet ve talep fonksiyonlarının olması gerektiğinden de şüpheleniyorum. $[0, 100]$

Gibi iki sorum var:

Sonsuz strateji seçenekleri olan bir oyunun Nash dengesine sahip olacağı herhangi bir iyi tanımlanmış ortam var mı?
Bununla ilgili okuma ne olabilir?

game-theory reference-request

Yanıtlar:

Evet, böyle bir ayar var. Sonuç şu ki

Her oyuncunun strateji alanı

konveks

kompakt

ve getirileri sürekli ise o zaman en az bir Nash dengesi var (muhtemelen karışık stratejilerde).

Bu, olası eylemler kümesi sayılmaz bir şekilde sonsuz olsa bile geçerlidir. Ek olarak, getirilerin yarı-içbükey olduğunu varsayarsak, en iyi yanıt yazışması saf stratejilere dikkat ettiğimizde bile dışbükey olur, böylece böyle bir oyunda saf stratejilerde en az bir dengeye sahip olduğumuzu garanti ederiz.

Buradaki asıl referansın olduğuna inanıyorum.

IL Glicksberg. " Kakutani sabit nokta teoreminin Nash denge noktalarına uygulanmasıyla birlikte daha genelleştirilmesi ." Amerikan Matematik Kurumu'nun Bildirileri , 3 (1): 170–174, 1952.

Glicksberg'in gazetesindeki tedavi olsa da, çok erişilebilir görünmüyor. İyi bir başlangıç referansı, Fudenberg ve Tirole'nin "Oyun Teorisi" kitabının bölüm 1.3'ü olması daha muhtemeldir .

— Ubiquitous
kaynak

R^{2}

$\mathbb{R}^2$

Hayır, kapalı ve sınırlanmış sözler kompaktlığa atıfta bulunur: bir kompakt kümenin tanımı hem kapalı hem de sınırlıdır.

— Ubiquitous

Doğru, pardon, "ve" nin yerleşimini yanlış anladım.

Aslında, alıntı kâğıt Glicksberg, açık bir şekilde, kompaktlığın karakteristiğinin doğru olmadığı bir bağlamda çalışmaktadır - normlu bir vektör uzayında, kapalı ve standart olarak sınırlandırılmış, sadece zayıf * kompaktlığı ima etmektedir.

— Michael

@densep Eşleşen paralı oyunda mevcut eylemler ayrıktır ve bu nedenle oyun dışbükey olmayan bir strateji alanına sahiptir, bu nedenle yukarıdaki ifadedeki ilk koşul başarısız olur.

— Ubiquitous

Kompaktlık ve konveksite hala gerekli olmakla birlikte, aşağıdaki referans belirli süreksizlik türleriyle vektör uzaylı oyunlarda varlığa ilişkindir.

Reny, P. (1999) "Süreksiz oyunlarda saf ve karma strateji Nash dengesinin varlığı üzerine", Econometrica 67, 1029-1056

— adamski
kaynak