Mareşal Cobb-Douglas Talebi

Bir cobb-douglas yardımcı işlevi olan yardımcı programı en üst düzeye çıkarmaya çalışırken , , aşağıdaki formülleri buldum ( Wikipedia: Demand ): a + b = $u=x_1^ax_2^b$$a+b = 1$

$x_1 = \frac{am}{p_1}\\ x_2 = \frac{bm}{p_2}$

Kitaplarımdan birinde de bu formülleri aynı amaçla buluyorum:

$x_1 = \frac{a}{a+b}\frac{m}{p_1} \\ x_2= \frac{b}{a+b}\frac{m}{p_2}$

İle : Malların fiyatları; : bütçe$p_i$$m$

Hepsini test ettim ve aynı sonuçları ürettiler.
Peki herhangi bir fark var mı?

Bu yana denklemler tam olarak aynıdır. Üçüncü ve dördüncü denklemlerde 1 ile a + b yerine ikame edilmesi birinci ve ikinci denklemleri verir.$a + b=1$$a+b$$1$

İlk denkleminizden ikincinize bu şekilde ulaşabilirsiniz. yardımcı işleviniz çünkü a + b = 1 Bunu biraz a olarak değiştireceğim ve (1-a) Bu iki seçeneği optimize etmek için şunları yapmanız gerekir: seçim değişkenleri wrt, programı en üst düzeye çıkarın.$u(x_1, x_2)=x_1^a x_2^b$$a+b=1$

tabi Walras Kanunu kullanılarak. Temel olarak, programı optimize etmek için tüm para harcanacaktır.$p_1x_1 + p_2x_2 = w$

Cobb-Douglas fonksiyonları genellikle optimizasyon problemleri için zordur. Fonksiyonun sıralı özelliklerini koruyan monotonik bir dönüşüm kullanılabilir.

$aln(x_1) + (1 − a)ln(x_2)$

Bunun yerine kullanılacak. Aynı bütçe kısıtı uygulanacaktır.

Lagrange ve Birinci Sipariş Koşulları Aşağıda

$L = aln(x_1) + (1 − a)ln(x_2) − \lambda(w − p_1x_1 − p_2x_2)$

$\frac{δL} {δx_1}= \frac{a} {x_1} − \lambda p_1 = 0$

$\frac {δL} {δx_2}=\frac{1 − a} {x_2} − \lambda p_2 = 0$

Birinci dereceden koşulların değiştirilmesi

$\lambda = \frac{a} {x_1p_1}$

$\lambda =\frac{(1 − a)}{ x_2p_2}$

$\frac{a} {x_1p_1}=\frac{(1 − a)}{ x_2p_2}$

$p_2x_2 = w − p_1x_1$

$\frac{a}{ x_1p_1}=\frac{(1 − a)} {w − p_1x_1}$

$x_1 =\frac{wa}{ p_1}$

ve

$p_1x_1 = w − p_2x_2$

$\frac{a} {w − p_2x_2}=\frac{(1 − a)}{ p_2x_2}$

$w =\frac{a}{(1 − α)}p_2x_2 + p_2x_2$

$w(1 − a) = p_2x_2$

$x_2=\frac{w(1 − a)}{p_2}$

$x_1$$x_2$

$x_1 =\frac{wa}{ p_1}$

$x_2=\frac{w(1 − a)}{p_2}$