İkame esnekliğini nasıl elde eder?

İki ürün ve için ikame esnekliği $x$ $y$

σ \equiv \frac{d günlük (\frac{y}{x})}{d günlük (\frac{U_{x}}{U_{y}})} = \frac{\frac{d (\frac{y}{x})}{\frac{y}{x}}}{\frac{d (\frac{U_{x}}{U_{y}})}{\frac{U_{x}}{U_{y}}}}

$\sigma \equiv \frac{d\log\left(\frac{y}{x}\right)}{ d\log\left(\frac{U_x}{U_y}\right) }= \frac{\frac{d\left(\frac{y}{x}\right)}{\frac{y}{x}}}{ \frac{d\left(\frac{U_x}{U_y}\right)}{\frac{U_x}{U_y}}}$

İki şeyle kafam karıştı:

Neden sadece yazıyoruz $d\log\left(\frac{y}{x}\right)$ ? Ne ile farklılaşıyoruz?
Bunu yukarıdaki ilişkiyi göstermek için nasıl kullanabilirim?

Birisi açıklayabilir mi?

elasticity

— Stan Shunpike
kaynak

İkame esnekliği nasıl elde edilir

İlk adım, bir diferansiyelin tanımını hatırlamaktır. işlevine sahipseniz , diyelim ki, , sonra: $f: \Bbb R^n \to \Bbb R$ $f(x_1,\cdots,x_n)$

d f = \frac{\partial f}{\partial x_{1}} d x_{1} + \dots + \frac{\partial f}{\partial x_{n}} d x_{n} .

${\rm d}f = \frac{\partial f}{\partial x_1}{\rm d}x_1 + \cdots + \frac{\partial f}{\partial x_n}\,{\rm d}x_n.$

Örneğin,

d günlük v = \frac{1}{v} d v

$d\log v = \frac{1}{v}dv$

Şimdi diyelim ki , sonra $v = \tfrac{y}{x}$

d günlük (y / x) = \frac{d (y / x)}{(y / x)}

$d\log(y/x)=\frac{d(y/x)}{(y/x)}$

ve $v = \tfrac{U_x}{U_y}$

d günlük (U_{x} / U_{y}) = \frac{d (U_{x} / U_{y})}{(U_{x} / U_{y})}

$d\log(U_x/U_y)=\frac{d(U_x/U_y)}{(U_x/U_y)}$

Başka bir deyişle, sorunu (1) bir diferansiyelin tanımını anlamak ve (2) basit bir değişken değişikliği kullanmak çok basit hale gelir.

Sonra alırsın

σ \equiv \frac{d günlük (\frac{y}{x})}{d günlük (\frac{U_{x}}{U_{y}})} = \frac{\frac{d (y / x)}{(y / x)}}{\frac{d (U_{x} / U_{y})}{(U_{x} / U_{y})}}

$\sigma \equiv \frac{d\log\left(\frac{y}{x}\right)}{ d\log\left(\frac{U_x}{U_y}\right) }= \frac{ \frac{d(y/x)}{(y/x)} }{ \frac{d(U_x/U_y)}{(U_x/U_y)} }$

KENARA:

$d(y/x)$

d (y / x) = \frac{x d y - y d x}{x^{2}}

$d(y/x)= \frac{xdy-ydx}{x^2}$

Bu mantıklı çünkü

d günlük (y / x) = d günlük (y) - d günlük (x) = \frac{d y}{y} - \frac{d x}{x}

$d\log(y/x) = d\log(y) - d\log(x) = \frac{dy}{y}-\frac{dx}{x}$

Ve eğer hesaplarsan

d günlük (y / x) = \frac{d (y / x)}{(y / x)} = \frac{\frac{x d y - y d x}{x^{2}}}{y / x} = \frac{x d y - y d x}{x y} = \frac{d y}{y} - \frac{d x}{x}

$d\log(y/x)=\frac{d(y/x)}{(y/x)}=\frac{ \frac{xdy-ydx}{x^2}}{y/x} = \frac{xdy-ydx}{xy} = \frac{dy}{y}-\frac{dx}{x}$

$d(U_x/U_y)$ .

$\sigma$ tamamı, hesaplama araçlarını doğru / yasal olarak kullandığımız anlamında iyi tanımlanmıştır.

İkame esnekliği nedir?

$MRS$

— Stan Shunpike
kaynak