Talep tahmininde OLS önyargısı: önyargı her zaman talebin esnekliğini hafife alıyor mu?

10

Bazı makaleler, OLS'un cihazlarınızın kalitesine bağlı olarak IV tahmininden daha az önyargı üretebileceğini iddia etmektedir. Diyelim ki bir talep tahmin denklemi düşünüyoruz.

OLS'de talep esnekliğinin negatif olduğunu varsayalım. Sezgime göre zayıf enstrümanlar OLS'ye karşı önyargılı tahminler üretmeli, ancak daha az olumsuz olmamalıdır. Bir örnek verebilir misiniz? IV tahminiyle nasıl daha önyargılı bir tahmine yol açabileceğini gerçekten anlayamıyorum.

econometrics

— John Doe
kaynak

IV önyargılı ama tutarlı, bu yüzden ifadenizin doğru olduğunu hayal ediyorum. ama her şeyin hedeflerinize bağlı olduğunu düşünüyorum. tahmin ve çıkarım.

— user157623

İlk cümlede atıfta bulunduğunuz "bazı makaleler" (tercihen iyi bilinenler veya aydınlatılmış inceleme türü) hangileridir? Onlara bakmak istiyorum. Teşekkürler.

— Kim Jong Un

8

Genellikle . Payda sıfıra gider. $\hat{\beta_1^{IV}} = \beta_1 + \frac{cov(z,u)}{cov(z,x)}$

Enstrüman ile hata terimi arasında bir korelasyon olmadığı sürece bu doğrudur ve aday, enstrüman ile endojen değişken arasındaki ilişkinin gücüdür. Payda küçüldükçe, sapma . $\left[\frac{cov(z,u)}{cov(z,x)}\right]$

Ek olarak, zayıf enstrümanın hassasiyeti olmayacaktır, böylece varyans büyük bir yukarı yönlü önyargıya sahip olacaktır.

\begin{array}{rcl} v a r (\hat{β_{1}}) & \to_{p} & \frac{σ^{2}}{n σ_{x}^{2}} \\ \hat{β_{1}^{I V}} & = & \frac{\sum (z_{i} - \bar{z}) y_{i}}{\sum (z_{i} - \bar{z}) x_{i}} = β_{1} + \frac{\sum (z_{i} - \bar{z}) u_{i}}{\sum (z_{i} - \bar{z}) x_{i}} \\ v a r (\hat{β_{1}^{I V}} & = & v a r (\frac{\sum (z_{i} - \bar{z}) u_{i}}{\sum (z_{i} - \bar{z}) x_{i}}) \\ v a r (u | z) & = & σ^{2} \\ v a r (\hat{β_{1}^{I V}}) & = & \frac{σ^{2} \frac{1}{n} \sum (z_{i} - \bar{z})}{n [\frac{1}{n} \sum (z_{i} - \bar{z}) (x_{i} - \bar{x})]^{2}} \end{array}

$\begin{eqnarray} var(\hat{\beta_1}) &\to_p& \frac{\sigma^2}{n \sigma^2_x} \nonumber \\ \hat{\beta_1^{IV}} &=& \frac{\sum (z_i - \bar{z})y_i}{\sum(z_i - \bar{z})x_i} = \beta_1 + \frac{\sum (z_i - \bar{z})u_i}{\sum(z_i - \bar{z})x_i} \nonumber \\ var(\hat{\beta_1^{IV}} &=& var \left( \frac{\sum (z_i - \bar{z})u_i}{\sum(z_i - \bar{z})x_i} \right) \nonumber\\ var(u | z) &=& \sigma^2 \nonumber\\ var(\hat{\beta_1^{IV}}) &=& \frac{\sigma^2 \frac{1}{n} \sum (z_i - \bar{z})}{n[ \frac{1}{n} \sum (z_i - \bar{z})(x_i - \bar{x})]^2} \nonumber \end{eqnarray}$

Şöyle $n \to \inf$

\begin{array}{rcl} v a r (\hat{β_{1}^{I V}}) & \to_{p} & \frac{σ^{2} σ_{z}^{2}}{σ_{z x}^{2}} \\ v a r (\hat{β_{1}^{I V}}) & \to_{p} & σ^{2} \frac{1}{n σ_{x}^{2}} \frac{1}{ρ_{x z}^{2}} \\ ρ_{x z}^{2} & = & \frac{[σ_{x z}^{2}]^{2}}{σ_{x}^{2} σ_{z}^{2}} for ρ \in [0, 1] \end{array}

$\begin{eqnarray} var(\hat{\beta_1^{IV}}) &\to_p& \frac{\sigma^2 \sigma_z^2 }{\sigma^2_{zx}} \nonumber\\ var(\hat{\beta_1^{IV}}) &\to_p& \sigma^2 \frac{1}{n \sigma^2_x} \frac{1}{\rho^2_{xz}}\nonumber \\ \rho^2_{xz} &=& \frac{[\sigma^2 _{xz}]^2}{\sigma_x^2 \sigma_z^2} \textit{for} \rho \in [0,1]\nonumber \end{eqnarray}$

Bu yüzden enstrümanınız zayıfsa, bir OLS regresyonu yapmaktan daha iyi olabilirsiniz.

— Nox
kaynak

IV tahmincisinin ilk varyansının denkleminde, tarafsız beta bir varyansının eksik olduğuna inanıyorum - değil mi? Varyansı sadece IV tahmincisinin sapmasıyla ilgili kısma atarsınız. Eğer yanılıyorsam, lütfen neyi kaçırdığımı açıkla.

— John Doe

" " ifadesini izleyen satır tam olarak varyans değildir (ayrıca payet kare gösterimini kaçırır, sadece bir yazım hatasıdır). Payda rastgele (çünkü endojen) ve varyans çok daha karmaşık.

v a r (u | z) = σ^{2}

$var(u|z)=\sigma^2$

x_{i}

$x_i$

— chan1142

6

Hafif enstrümantal endojenite ile birleştirilmiş zayıf enstrümanlar OLS'den daha büyük bir yanlılığa neden olabilir. cevabının gösterdiği gibi, IV tahmincisinin olasılık limiti . Tüm ise küçük olsa da, küçük, daha sonra ön gerilim büyük olabilir. Bkz. Bound, Jaeger ve Baker'ın (1995, JASA) denklemi (7) takip eden sayfa 444. $\beta_1 + cov(z,u)/cov(z,x)$ $cov(z,u) \ne 0$ $cov(z,x)$

http://www.djaeger.org/research/pubs/jasav90n430.pdf

"Denklem (7) 'den potansiyel olarak endojen değişken olan ile enstrümanlar, arasındaki zayıf korelasyonun , enstrüman ile hata, arasındaki korelasyon ile ilişkili sorunları daha da kötüleştireceği . enstrüman ve endojen açıklayıcı değişken zayıftır, o zaman enstrüman ve hata arasındaki küçük bir korelasyon bile IV tahmininde OLS tahmininden daha büyük bir tutarsızlık yaratabilir . " $x$ $z_1$ $\varepsilon$ $\beta$

Enstrümantal endojenite olmadan, IV tahmin edicisinin (limit dağılımının önyargısı, olasılık sınırı olmayabilir) OLS'nin tutarsızlığından daha büyük olduğunu düşünmüyorum.

Dikkate alınması gereken başka bir şey, çok zayıf enstrümanlar kullanan IV tahmincisinin varyansının çok büyük bir ile bile büyük olabileceğidir ve bu nedenle sadece şans eseri bir veri seti için OLS'den daha saçma bir IV tahminine sahip olabilirsiniz. $n$

— chan1142
kaynak