Dinamik Optimizasyon: Ya ikinci dereceden koşul geçerli değilse?

Aşağıdaki dinamik optimizasyon sorununu düşünün

\begin{aligned} max_{u} \int_{0}^{T} F (x, u) d t \\ s.t. & \dot{x} = f (x, u) \end{aligned}

$\begin{align} &\max_u \int^T_0{F(x,u)dt}\\ \text{s.t.}~& \dot{x} = f(x,u) \end{align}$

Focs

Hamiltoncu

\begin{aligned} H (x, u, λ) = F (x, u) + λ f (x, u) \end{aligned}

$\begin{align} H(x,u,\lambda) = F(x,u) + \lambda f(x,u) \end{align}$ tarafından verilir. Optimallik için gerekli şartlar maksimum ilke

\begin{aligned} \frac{\partial H}{\partial u} & = 0 \\ \frac{\partial H}{\partial x} & = - \dot{λ} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\partial H}{\partial u} &= 0\\[2mm] \frac{\partial H}{\partial x} &= -\dot{\lambda} \end{align}$

$u^*=\arg\max_u H(x,u,\lambda)$ bir maksimizatör, yani olduğunu varsayalım $H_{uu} < 0$ .

SOC

Ok Yeterli Teoremi, maksimize edilmiş Hamiltonyen

\begin{aligned} H^{0} (x, λ) = max_{u} H (x, u, λ) \end{aligned}

$\begin{align} H^0(x,\lambda) = \max_u H(x,u,\lambda) \end{align}$ içbükey ise gerekli koşulların yeterli olduğunu

x

$x$ , yani

H_{x x} < 0

$H_{xx} < 0$ .

Sorun

Diyelim ki FOC'ler beklemeye devam ediyor, ancak SOC tutamıyor.

Çözümün en uygunluğu hakkında ne söylenebilir?

optimization

— clueless
kaynak

Dışbükeylik içbükeyliğin olmaması değildir.

— Michael Greinecker

Yanlış kısmı kaldırdım, umarım umursamazsın. Cevap: fazla değil, başka bir şey deneyin (örneğin başka bir yeterlilik koşulu veya dışbükey olduğunu düşünüyorsanız dışbükey olduğunu gösterin).

— Yüce Bob

Tek bir cevap yok, her sorunun detaylarına bağlı olacak. Standart bir örneğe bakalım.

Ramsey modeli için temel ölçütler arası optimizasyon problemini düşünün

\begin{aligned} max_{u} \int_{0}^{\infty} e^{- ρ t} u (c) d t \\ s.t. \dot{k} = i - δ k \\ s.t. y = f (k) = c + i \end{aligned}

$\begin{align} &\max_u \int^{\infty}_0{e^{-\rho t}u(c)dt}\\ \\ & \text{s.t.}\;\; \dot{k} = i-\delta k\\ & \text{s.t.}\;\; y = f(k)=c+i \end{align}$

Mevcut değer Hamiltonian

\tilde{H} = u (c) + λ [f (k) - c - δ k]

$\tilde H = u(c) +\lambda [f(k)-c-\delta k]$

Üzerinde maksimize yalnız elimizdeki $c$

\frac{\partial \tilde{H}}{\partial c} = u^{'} (c) - λ = 0 ⟹ u^{'} (c^{*}) = λ ⟹ c^{*} = (u^{'})^{- 1} (λ)

$\frac {\partial \tilde H}{\partial c} = u'(c) - \lambda =0 \implies u'(c^*) = \lambda \implies c^* = (u')^{-1}(\lambda)$

yardımcı program işlevi içbükeyse 2. sıra koşulu geçerli olur,

\frac{\partial^{2} H}{\partial c^{2}} = u^{″} (c^{*}) < 0

$\frac {\partial^2 H}{\partial c^2} = u''(c^*) < 0$

Dahası, tüketime ilişkin birinci dereceden koşuldan, yerel doymamışlık varsa . Böyle "olağan" tercihlerimiz olduğunu varsayın. $\lambda >0$

Hamiltonian'ın maksimum tüketim

{\tilde{H}}^{0} = u [(u^{'})^{- 1} (λ)] + λ [f (k) - (u^{'})^{- 1} (λ) - δ k]

$\tilde H^0 = u[(u')^{-1}(\lambda)]+\lambda [f(k)-(u')^{-1}(\lambda)-\delta k]$

Durum değişkeni göre kısmi türevler , $k$

\frac{\partial {\tilde{H}}^{0}}{\partial k} = λ [f^{'} (k) - δ], \frac{\partial^{2} {\tilde{H}}^{0}}{\partial k^{2}} = λ f^{″} (k)

$\frac {\partial \tilde H^0}{\partial k} = \lambda[f'(k) - \delta], \;\;\;\; \frac {\partial^2 \tilde H^0}{\partial k^2} = \lambda f''(k)$

Bu yüzden burada, Ok-Kurz yeterlilik koşulu, sermayenin marjinal ürününün azalan, sabit veya artan (üretim fonksiyonunun ikinci türevinin işaretine bağlı olacaktır) olup olmadığına bağlıdır. Standart durumda ve yeterli koşula sahibiz. $f''(k) < 0$

En ünlü sapma durumunda, Romer'in Endojen Büyüme literatürünü başlatan modeli, ve sermayenin marjinal ürünü pozitif bir sabittir. $AK$ $f''(k) =0$

Peki bu durumda ne diyebiliriz?

Burada Seierstad, A. ve Sydsaeter, K. (1977). Optimal kontrol teorisinde yeterli koşullar. Uluslararası Ekonomik İnceleme, 367-391. bize yardımcı olabilecek çeşitli sonuçlar sağlayabiliriz.

Özellikle, eğer Hamiltonyan ve ile birlikte içbükeyse , maksimum için yeterli bir koşul olduğunu kanıtlarlar . Hamiltoncu Hessyan $c$ $k$

(indirim süresini göz ardı edebiliriz)

{H e}_{H} = [\begin{matrix} u^{″} (c) & 0 \\ 0 & λ f^{″} (k) \end{matrix}]

${\rm He}_H = \left [ \begin{matrix} u''(c) & 0\\ 0 & \lambda f''(k)\\ \end{matrix} \right]$

Standart durumda , bu negatif bir kesin bir matristir ve Hamilton yani ortak katı konkavdır ve . $u''(c) <0, \; f''(k) <0$ $c$ $k$

Zaman matris negatif yarı kesin olduğunu kontrol tanımı kullanılarak basittir. ve ürünü vektörü olarak düşünün $f''(k) =0$ $\mathbf z = (z_1, z_2)^T \in \mathbb R^2$

z^{T} {H e}_{H} z = z_{1}^{2} u^{″} (c) \leq 0

$\mathbf z^T{\rm He}_H\mathbf z = z_1^2u''(c) \leq 0$

bu zayıf eşitsizlik tutar ve bu nedenle Hessian ve cinsinden içbükeydir . $\forall \mathbf z \in \mathbb R^2$ $c$ $k$

Bu nedenle , endojen büyüme modelinde, çözüm gerçekten maksimumdur (sorunun elbette iyi tanımlanması için gereken parametre kısıtlamalarına tabidir). $AK$

— Alecos Papadopoulos
kaynak

Teşekkürler. Ancak, nedenlerimi açıklığa kavuşturmam gerektiğini düşünüyorum. Hamiltonyan'ın ne katı içbükey , ne de içinde iç içe geçmediğini biliyorum . Burada , sınırlı olduğu için Hamiltonyen'in şeklini kullanır . Küçük ve herhangi bir için sıkı bir dışbükey işlev ve büyük ve herhangi bir için sıkı bir içbükey işlevdir . Böyle bir durumda iyimserlik hakkında genel bir açıklama yapıp yapamayacağımızı merak ediyordum.

x

$x$

(x, u)

$(x,u)$

x

$x$

u

$u$

x

$x$

u

$u$

x

$x$

u

$u$

— clueless

@clueless Bu farklı (ve ilginç) bir soru, bu yüzden ayrı bir gönderide sormak daha iyi olurdu.

— Alecos Papadopoulos