Dinamik Optimizasyon: Ya ikinci dereceden koşul geçerli değilse?


9

Aşağıdaki dinamik optimizasyon sorununu düşünün

maxu0TF(x,u)dts.t. x˙=f(x,u)

Focs

Hamiltoncu

H(x,u,λ)=F(x,u)+λf(x,u)
tarafından verilir. Optimallik için gerekli şartlar maksimum ilke
Hu=0Hx=λ˙

u=argmaxuH(x,u,λ) bir maksimizatör, yani H_ {uu} <0 olduğunu varsayalım Huu<0.

SOC

Ok Yeterli Teoremi, maksimize edilmiş Hamiltonyen

H0(x,λ)=maxuH(x,u,λ)
içbükey ise gerekli koşulların yeterli olduğunu belirtir . x , yani Hxx<0 .

Sorun

Diyelim ki FOC'ler beklemeye devam ediyor, ancak SOC tutamıyor.

  • Çözümün en uygunluğu hakkında ne söylenebilir?

1
Dışbükeylik içbükeyliğin olmaması değildir.
Michael Greinecker

Yanlış kısmı kaldırdım, umarım umursamazsın. Cevap: fazla değil, başka bir şey deneyin (örneğin başka bir yeterlilik koşulu veya dışbükey olduğunu düşünüyorsanız dışbükey olduğunu gösterin).
Yüce Bob

Yanıtlar:


5

Tek bir cevap yok, her sorunun detaylarına bağlı olacak. Standart bir örneğe bakalım.

Ramsey modeli için temel ölçütler arası optimizasyon problemini düşünün

maxu0eρtu(c)dts.t.k˙=iδks.t.y=f(k)=c+i

Mevcut değer Hamiltonian

H~=u(c)+λ[f(k)cδk]

Üzerinde maksimize yalnız elimizdekic

H~c=u(c)λ=0u(c)=λc=(u)1(λ)

yardımcı program işlevi içbükeyse 2. sıra koşulu geçerli olur,

2Hc2=u(c)<0

Dahası, tüketime ilişkin birinci dereceden koşuldan, yerel doymamışlık varsa . Böyle "olağan" tercihlerimiz olduğunu varsayın.λ>0

Hamiltonian'ın maksimum tüketim

H~0=u[(u)1(λ)]+λ[f(k)(u)1(λ)δk]

Durum değişkeni göre kısmi türevler ,k

H~0k=λ[f(k)δ],2H~0k2=λf(k)

Bu yüzden burada, Ok-Kurz yeterlilik koşulu, sermayenin marjinal ürününün azalan, sabit veya artan (üretim fonksiyonunun ikinci türevinin işaretine bağlı olacaktır) olup olmadığına bağlıdır. Standart durumda ve yeterli koşula sahibiz.f(k)<0

En ünlü sapma durumunda, Romer'in Endojen Büyüme literatürünü başlatan modeli, ve sermayenin marjinal ürünü pozitif bir sabittir.AKf(k)=0

Peki bu durumda ne diyebiliriz?

Burada Seierstad, A. ve Sydsaeter, K. (1977). Optimal kontrol teorisinde yeterli koşullar. Uluslararası Ekonomik İnceleme, 367-391. bize yardımcı olabilecek çeşitli sonuçlar sağlayabiliriz.

Özellikle, eğer Hamiltonyan ve ile birlikte içbükeyse , maksimum için yeterli bir koşul olduğunu kanıtlarlar . Hamiltoncu Hessyanck

(indirim süresini göz ardı edebiliriz)

HeH=[u(c)00λf(k)]

Standart durumda , bu negatif bir kesin bir matristir ve Hamilton yani ortak katı konkavdır ve . u(c)<0,f(k)<0ck

Zaman matris negatif yarı kesin olduğunu kontrol tanımı kullanılarak basittir. ve ürünü vektörü olarak düşününf(k)=0z=(z1,z2)TR2

zTHeHz=z12u(c)0

bu zayıf eşitsizlik tutar ve bu nedenle Hessian ve cinsinden içbükeydir .zR2ck

Bu nedenle , endojen büyüme modelinde, çözüm gerçekten maksimumdur (sorunun elbette iyi tanımlanması için gereken parametre kısıtlamalarına tabidir).AK


Teşekkürler. Ancak, nedenlerimi açıklığa kavuşturmam gerektiğini düşünüyorum. Hamiltonyan'ın ne katı içbükey , ne de içinde iç içe geçmediğini biliyorum . Burada , sınırlı olduğu için Hamiltonyen'in şeklini kullanır . Küçük ve herhangi bir için sıkı bir dışbükey işlev ve büyük ve herhangi bir için sıkı bir içbükey işlevdir . Böyle bir durumda iyimserlik hakkında genel bir açıklama yapıp yapamayacağımızı merak ediyordum. x(x,u)xuxuxu
clueless

@clueless Bu farklı (ve ilginç) bir soru, bu yüzden ayrı bir gönderide sormak daha iyi olurdu.
Alecos Papadopoulos
Sitemizi kullandığınızda şunları okuyup anladığınızı kabul etmiş olursunuz: Çerez Politikası ve Gizlilik Politikası.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.