Tek bir cevap yok, her sorunun detaylarına bağlı olacak. Standart bir örneğe bakalım.
Ramsey modeli için temel ölçütler arası optimizasyon problemini düşünün
maxu∫∞0e−ρtu(c)dts.t.k˙=i−δks.t.y=f(k)=c+i
Mevcut değer Hamiltonian
H~=u(c)+λ[f(k)−c−δk]
Üzerinde maksimize yalnız elimizdekic
∂H~∂c=u′(c)−λ=0⟹u′(c∗)=λ⟹c∗=(u′)−1(λ)
yardımcı program işlevi içbükeyse 2. sıra koşulu geçerli olur,
∂2H∂c2=u′′(c∗)<0
Dahası, tüketime ilişkin birinci dereceden koşuldan, yerel doymamışlık varsa . Böyle "olağan" tercihlerimiz olduğunu varsayın.λ>0
Hamiltonian'ın maksimum tüketim
H~0=u[(u′)−1(λ)]+λ[f(k)−(u′)−1(λ)−δk]
Durum değişkeni göre kısmi türevler ,k
∂H~0∂k=λ[f′(k)−δ],∂2H~0∂k2=λf′′(k)
Bu yüzden burada, Ok-Kurz yeterlilik koşulu, sermayenin marjinal ürününün azalan, sabit veya artan (üretim fonksiyonunun ikinci türevinin işaretine bağlı olacaktır) olup olmadığına bağlıdır. Standart durumda ve yeterli koşula sahibiz.f′′(k)<0
En ünlü sapma durumunda, Romer'in Endojen Büyüme literatürünü başlatan modeli, ve sermayenin marjinal ürünü pozitif bir sabittir.AKf′′(k)=0
Peki bu durumda ne diyebiliriz?
Burada
Seierstad, A. ve Sydsaeter, K. (1977). Optimal kontrol teorisinde yeterli koşullar. Uluslararası Ekonomik İnceleme, 367-391. bize yardımcı olabilecek çeşitli sonuçlar sağlayabiliriz.
Özellikle, eğer Hamiltonyan ve ile birlikte içbükeyse , maksimum için yeterli bir koşul olduğunu kanıtlarlar . Hamiltoncu Hessyanck
(indirim süresini göz ardı edebiliriz)
HeH=[u′′(c)00λf′′(k)]
Standart durumda , bu negatif bir kesin bir matristir ve Hamilton yani ortak katı konkavdır ve . u′′(c)<0,f′′(k)<0ck
Zaman matris negatif yarı kesin olduğunu kontrol tanımı kullanılarak basittir. ve ürünü vektörü olarak düşününf′′(k)=0z=(z1,z2)T∈R2
zTHeHz=z21u′′(c)≤0
bu zayıf eşitsizlik tutar ve bu nedenle Hessian ve cinsinden içbükeydir .∀z∈R2ck
Bu nedenle , endojen büyüme modelinde, çözüm gerçekten maksimumdur (sorunun elbette iyi tanımlanması için gereken parametre kısıtlamalarına tabidir).AK