Zarf Teoremi

Diyelim ki tüketimden elde ettiğim gelirleri çözüyorum ve bir iç çözümün var olduğunu varsayıyoruz:

$$ \ max_c U (c, Y) \\ C (Y) = \ arg \ max_c U (c, Y) \\ $$

Ancak, $ C (Y) $ için kapalı form bir çözüm yoktur. Ama bunun devam ettiğini biliyorum. türevlenebilir. Şimdi $ C (Y) $ ile ilgilenmiyorum, ancak $ C '(Y) $' in işaretini bilmek istiyorum. İşte benim yaklaşımımdı:

Birinci dereceden koşulu $ G (c, Y) = 0 $ olarak tanımlayın. Ayırt etmek:

$$ \ frak {d} {d Y} G (c, Y) = \ frak {\ kısmi G (c, Y)} {\ kısmi Y} + \ frak {\ kısmi G (c, Y)} {\ c } \ frac {dc} {d Y} = 0 $$

Şimdi biraz sıkışıp kaldım: Aslında $ \ frac {d c} {d Y} $ 'ı nasıl hesaplayabilirim? Sonuçta ben buyum. Zarf teoreminin $ \ kısmi c / \ kısmi Y $ 'nın sıfır olması gerektiğini söylediğini hatırlıyorum. Nasıl ilerlerim?

İlk sipariş koşulu $ U_1 (C (Y), Y) = 0 $ 'dır, burada $ U_i $, $ i $ argümanına göre kısmi türev demektir.

Şimdi, $ Y $ ile tamamen farklılaşın: $$ u_ {12} (C (Y), Y) + u_ {11} (C (Y), y) C '(Y) = 0. $$ Bu vermek için yeniden düzenlenebilir $$ C '(Y) = -. \ Frac {u_ {12} (C (Y), Y)} {u_ {11} (C (Y), Y)} $$

Genellikle, amaç fonksiyonunun içbükey olmasını bekleriz (yani, $ U_ {11} & lt; 0 $), bu yüzden $ C '(Y) $ işareti $ $__12 = (C (Y) işareti ile aynıdır. Y) $.

Genellikle, bu tür bir karşılaştırmalı statik numara uygularken, teori bize $ U_ {12} $ işaretinin ne olması gerektiğini söyler. Örnek olarak, bir girişimcinin çaba ve becerinin bir işlevi olarak çıktısı $ y (e, s) $ ise, $ y_ {12}> 0 $ (yani çabadaki bir artışın çıktıda daha büyük bir artış getirdiğini düşünebilirsiniz). daha yetenekli insanlar için). Yukarıda yürüttüğünüz birine yapılan alıştırmalar daha sonra $ y_ {12}> 0 \ anlamına gelir, e '(ler)> 0 $ anlamına gelir, böylece daha yetenekli girişimciler daha çok çaba harcarlar.

Örneğinizde $ U_ {12} $ ile ilgili uygun varsayımın ne olduğunu bilmek zor olabilir, çünkü gelirin neden faydada işlevde olduğu ve neden $ U $ 'nın sadece $ c $' da artmadığı açık değildir. Belki de bunu engelleyebilecek bir uygulamanız var.

Zarf teoreminin burada farklı bir kullanımı olacaktır. Diyelim ki en uygun $ C (Y) $ 'ı bulduk ve "$ C (Y) $' da değerlendirildi, gelirdeki artış faydayı nasıl etkiler?"

Cevap

$$ \ frak {dU (C (Y), Y)} {dY} = \ underrace {U_1 (C (Y), Y)} _ {= 0} C '(Y) + U_2 (C (Y) Y) $$

Zarf teoremi bize ilk terimi görmezden gelebileceğimizi söyler (yani $ Y $ 'ın $ C $ üzerindeki dolaylı etkisi), çünkü en uygun $ C $' lık ilk sipariş koşulu (yani $ U_1 = 0 $) bu etkiyi garanti eder. sıfır.