Kesikli değerlere sahip ilk fiyat açık artırması

Vijay Krishna'nın Açık Artırma Teorisinde Egzersiz 4.5 :

Teklif 1'in her zaman değerine sahip olduğunu ve teklif 2'nin değerinin, veya olması eşit derecede olduğunu varsayalım . İlk fiyat açık artırmasında denge teklifi stratejilerini bulun. (Değerlerin ayrık olması nedeniyle dengenin karma stratejilerde olacağını unutmayın.)$X_1=2$$X_2$$0$$2$

• Neden olduğunu bilmiyorum, değerler kesikli olduğundan, denge karışık stratejilerde olacaktır. Bunun için bir kural / ilke var mı?

• Sorunu nasıl ayarlarım? Denge karışık stratejiler oyuncu 1'in olasılıklarını sırasıyla olasılıkları ile . Ancak bu, herhangi bir ilerleme kaydedilmesi için çok genel görünüyor.$b_1,\ldots,b_k$$p_1,\ldots,p_k$

Önerilen saf stratejiler bir denge yaratmaz, çünkü eğer ise, bir bağ vardır. Hangi kravat kırma kuralı kullanılırsa kullansın, oyunculardan biri kaçınmak ve kesin olarak kazanmak için sapmak ister . Eğer beraberlik her zaman ikinci oyuncunun lehine ise, oyuncu 1 sapar .$X_2=X_1=2$$\beta_i=1+\epsilon$$0+\epsilon$

Bu ayardaki ayrık değerler, karma bir strateji dengesi (dejenere olmayan) önermektedir, çünkü değerlemelerdeki bağın olasılığı sıfır değildir. Bu yüzden, sürekli davadan saf strateji dengesi burada eksik.

Bu problemin en genel örneği Doni ve Menicucci'dedir (2013) .

Herhangi bir saf strateji Nash dengesi, dolaylı olarak karma stratejiler Nash dengesidir. Değerlemeler değişkenlik gösterdiğinden, karışık stratejileri dikkate almak istediğimiz iyi bir göstergedir. Sorunun bize bunu anlatması, daha güçlü bir gösterge, ancak aradığınız aksiyomatik gerekçeden emin değilim. :-)

oyuncuyu düşünün . Bu oynatıcı ile 'in beklenen kar: , burada oyuncu teklifi, oyuncu teklif stratejisi ve oyuncu değerlemesidir. Biz varsayabiliriz (çünkü eğer , oyuncu adaylığına azaltarak bu geliştirebileceği). oyuncu için sadece iki potansiyel değer düşündüğümüz için, bazı sabitler için olduğunu varsayabiliriz.$1$$1$$\mathbb{E}[\Pi_{1}(b)] = (2-b) Pr[b \geq \beta_{2}(v_{2})]$$b$$1$$\beta_{2}$$2$$v_{2}$$2$$\beta_{2}(0) = 0$$\beta_{2}(0) > 0$$2$$2$$\beta_{2}(v) = av$$a \in \mathbb{R}_{++}$ . (Yani, iki nokta ve göz önüne alındığında, sadece aralarına bir çizgi çizeriz).$(0, 0)$$(2, \beta_{2}(2))$

Dikkate bu son eşitsizlik ile biz değerlemesi bir 50-50 şansı yana oyuncu .$Pr[b \geq av] = Pr[v \leq \frac{b}{a}] = \frac{b}{2a}$$2$

Şimdi bir Nash dengesi için, oyuncu beklenen değerini en üst düzeye çıkarmak istiyor. Bu, aşağıdaki optimizasyon sorunu ile verilir:$1$

Bu, ilk sipariş koşullarını verir:

$\frac{1}{2a} \cdot (2 - 2b) = 0$ ve oyuncu için tek çözümümüz olduğunu öğrendik . Bu cevap oldukça sezgisel olmalıdır.$b = 1$$1$

Şimdi oyuncu yalnızca değerinin olması durumunda kazanır . Böylece oyuncu ve .$2$$2$$\beta_{2}(2) = 1$$\beta_{2}(0) = 0$