sezgisel açıklaması

11

Slutsky matrisinin neden fiyat vektörü ile çarpımının sezgisel bir açıklaması sıfır matris verdiğini açıklayabilir mi?

Bunun doğru olduğunu biliyorum ama neden doğru olduğunu gerçekten anlamıyorum. Burada kimse yardım edebilir mi?

microeconomics

— Microhelp
kaynak

8

Bu, birinci derece homojen olan çok değişkenli fonksiyonların ikinci türevi / Hessian matrisinin genel bir matematiksel özelliğidir.

Harcama fonksiyonu , fiyatlarda birinci derece homojendir. Neden? Tüm fiyatlar aynı oranda değişirse (homojenliğin matematiksel özelliğini bu şekilde kontrol ederiz), nispi fiyatlar değişmez. Nisbi fiyatlar değişmezse, belirli yarar elde etmek için minimum maliyet telafi tüketim paket kantitatif bileşim değişmez hiç . Daha sonra, tüm fiyatlar aynı oranda arttığı için bütçe payları aynı kalır ve aynı faydaya ulaşmak için gereken harcama aynı oranda artar: birinci derece homojenliği. $E$

İkilik olarak, Hicksgil talep vektörü Gider fonksiyonu gradyanı olan . $H = \nabla_p E$

Hicksian talep vektörü, bize talep edilen minimum maliyet miktarlarını verir. Harcama fonksiyonunun birinci derecesinin homojenliği nedeniyle, Hicksian talep vektörü fiyat fiyatının iç çarpımı Harcama fonksiyonuna eşittir. Bu da sezgisel olmalıdır: bunun için ödenmesi gereken birim fiyat ile talep edilen her miktarı çoğaltırız ve bu ürünleri toplayarak, verilen hizmet için minimum maliyet paketini elde etmek için katlanmak zorunda olduğumuz toplam Harcama'yı elde ederiz.

Biz (farklılaşma gösterimini basitleştirmek) yani ise de . Dolayısıyla $E = H\cdot p$ $\frac {\partial}{\partial p}E = H$

\frac{\partial}{\partial p} (H \cdot p) = H ⟹ H + \frac{\partial H}{\partial p} \cdot p = H

$\frac {\partial}{\partial p}(H\cdot p) = H \implies H + \frac {\partial H}{\partial p}\cdot p = H$

ve durum böyle olmalı

\frac{\partial H}{\partial p} \cdot p = 0

$\frac {\partial H}{\partial p}\cdot p = 0$

Dolayısıyla Hicksian talep vektörü fiyatlarda sıfır derece homojendir (matematiksel olarak, bu Euler'nin homojen fonksiyonlar için teoreminin bir sonucudur, yani bir fonksiyon homojenlik derecesi ile homojen ise, gradyanı homojenlik derecesine sahipse ). $k$ $k-1$

Ancak Hicksian talebinin 1. türevi (Jacobian) (Harcama fonksiyonunun ikinci türevlerinin Hessian matrisi olan) Slutsky matrisi, . Yani . $\frac {\partial^2 E}{\partial p^2}=\frac {\partial H}{\partial p} = S(p,w)$ $S(w,p) \cdot p = 0$

Sonuç, Harcama fonksiyonunun birinci derecesinin homojenliğinden kaynaklanmaktadır. Harcama fonksiyonunun birinci derecesinin homojenliğinin arkasındaki sezgiye benzer şekilde sezgisel bir açıklama var mı? Eh, eski doğrudan gelir o "ayrı" sezgisel argümanı ile gelip zor yani, ikincisi dan. Gayri resmi olarak, talep edilen telafi edilen miktarların, nispi fiyatlar aynı kaldığında fiyat varyasyonundan "bağımsız" olduğunu (etkilenmediğini) söyleyebiliriz. Daha sonra geometrik terimlerle, bu, talep edilen telafi edilmiş miktarların değişim oranlarının vektörlerinin (Slutsky matrisinin her sırasının içerdiği) fiyat vektörüne dik olduğu anlamına gelir.

— Alecos Papadopoulos
kaynak

Vay. Bu harika bir cevap.

— 123

1

Bunu bir açıklama olarak mı yoksa bir kanıt olarak mı göreceğinizi bilmiyorum.

Tek değişkenli analizden daha iyi bir anlayışa sahip olduğumuz şey, birinci dereceden Taylor yaklaşımıdır, yani bazı düzenlilik koşullarını karşılayan bir fonksiyon, bir noktada doğrusal bir fonksiyon ile iyi bir şekilde yaklaştırılabilir. deyin , sonra (yani küçük olduğunda) $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ $p^\ast$ $\delta$

f (p^{*} + δ) ≃ f (p^{*}) + δ \times {\frac{d f}{d p} |}_{p = p^{*}}

$f(p^\ast+\delta)\simeq f(p^\ast)+\delta\times \left.\frac{df}{dp}\right|_{p=p^\ast}$

Şimdi, çok değişkenli fonksiyonlar için benzer bir şey yapabiliriz. Eğer , daha sonra $h_i:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$

h_{i} (p^{*} + δ) ≃ h_{i} (p^{*}) + {\frac{\partial h_{i} (p)}{\partial p_{1}} δ_{1} |}_{p = p^{*}} + \dots + {\frac{\partial h_{i} (p)}{\partial p_{n}} δ_{n} |}_{p = p^{*}}

$h_i(\mathbf{p^\ast+\delta})\simeq h_i(\mathbf{p^\ast})+\left.\frac{\partial h_i(\mathbf{p})}{\partial p_1}\delta_1\right|_{p=p^\ast}+\dots+\left.\frac{\partial h_i(\mathbf{p})}{\partial p_n} \delta_n\right|_{p=p^\ast}$

Şimdi, tüm fiyatları aynı sayı ile çarptığımızda, Hicksian talebinin değişmediği açık olmalıdır. Diyelim ki fiyatlar den . Böylece her fiyat miktarıyla orantılı olarak değişir . Biz değerinde herhangi bir değişiklik görmelisiniz biz değiştirirseniz yukarıdaki ile . Daha sonra, kısmi türevleri içeren ek terimlerin 0'a eşit olacağı doğru olmalıdır, bu da temel olarak $\mathbf{p^\ast}$ $\mathbf{p^\ast(1+\Delta)}$ ${p_j^\ast}$ $\Delta \times {p_j^\ast}$ $h_i$ $\delta$ $\Delta \mathbf{p^\ast}$ $S(\mathbf{p},w)\cdot \mathbf{p}=0$

Başka bir deyişle, Hicksian'ın herhangi bir mal için talebi, göreli fiyatları aynı tutan fiyatlardaki bir değişikliğe tepki vermediğinden, bu fiyat değişikliklerinin bir mal üzerindeki bireysel etkilerinin toplamına bakarsak, 0 değişiklik.

— ramazan
kaynak

1

Mas-Colell'de verilen cevabı zaten bildiğinizi varsayalım, bu özellik aslında para yanılsamasıyla ilgisi yok (bazı düzenlilik koşulları altında), sadece ve sadece . Şimdi, bunun Walras yasası veya eşdeğeri altında anlamına geldiğini göstermek önemsizdir. , köknar ifadesinde onun yerine . Entegrasyonu kullanarak başka bir yoldan gidebiliriz. Başka bir deyişle, güçlü sezginin, tüketicinizin para yanılsamasından muzdarip olmaması olduğunu düşünüyorum. Tüketicinin rasyonel olmayabileceğini ancak en azından bu davranışsal önyargıya maruz kalmayacağını unutmayın. $x(\alpha p,\alpha w)=x(p,w) \forall \alpha > 0$ $D_px(p,w)p+D_wx(p,w)w=0$ $p'x(p,w)=w$ $x(p,w)'p=w$ $S(p,w)p=0$

— user157623
kaynak