Karush-Kuhn-Tucker optimizasyonu neden çözümü bulamadı?

7

Aşağıdaki yardımcı program maksimizasyonu sorunum var: $$ \ max (xy) $$ $$ (x + y-2) ^ 2 \ leq 0 $$ Koşullar: $$ y-2 \ lambda (x + y-2) = 0 $$ $$ x-2 \ lambda (x + y-2) = 0 $$ $$ \ lambda (x + y-2) ^ 2 = 0 $$

$ \ Lambda & gt; 0 $ ayarını yaptığımda şunu alıyorum: $$ (x + y-2) ^ 2 = 0 \ Sağır (x + y-2) = 0 $$ $$ y-2 \ lambda (x + y-2) = y = 0 $$ $$ x-2 \ lambda (x + y-2) = x = 0 $$

Ancak bariz çözüm $ x = y = 1 $.

$$ \ lambda = 0 $$ ayarladığımda, bu da geçerli bir çözümü olan bir durum değil. Kısıtlama çok mu düşük? Bunun açıklaması nedir?

Yardımınız için çok teşekkür ederim.

utility optimization

— Übel Yildmar
kaynak

Biraz denklemleri basitleştirmeye çalıştım. Eğer katılmıyorsanız, düzenlememi geri almaktan çekinmeyin.

— denesp

6

@ User32416 işaret ettiği gibi, birinci dereceden durağanlık koşulları yeterli değildir. Özellikle, ihlal ettiğin anlaşılıyor. Slater'ın durumu hangi "uygulanabilir bölgenin bir iç noktaya sahip olması gerektiğini" belirtir. $ X, y $ yoktur. $$ (x + y-2) ^ 2; 0. $$

Sorunu yeniden silerseniz $$ \ max (xy) $$ $$ x + y-2 = 0 $$ $$ x, y \ geq 0 $$ Slater'ın durumu karşılandı (doğrusal koşullar için iç noktalara gerek yok) ve Karush-Kuhn-Tucker'ı uygulayabilirsiniz.

— denesp
kaynak

5

Bu kötü bir soru. KKT'yi geçmeden bile, sınırınız $ (x + y - 2) ^ 2 \ le 0 $, çünkü sol taraf bir karedir, uygulanabilir olan tek çözüm, eşitliğin bağlandığı alandır; yani $ (x + y - 2) ^ 2 = 0 $, ya da $ | x + y - 2 | = 0 $ - ki bunların $ x = y = 1 $ olduğunu söylediğiniz bir çözümdür.

— user32416
kaynak

Evet, ancak bu düzeltilen soruna K-K-T'yi uygulayabilir misiniz?

— denesp

1

Burada sadece birinci dereceden durağanlık koşullarını dahil ediyorsunuz. Fakat tamamlayıcı gevşekliği ve temel fizibilite koşullarını tamamen görmezden geliyorsunuz. Böylece orada yazdıklarınız tam KKT formülasyonu bile değil.

— user32416

1

Yapıcı eleştiri ve yardımın için hepinize teşekkür ederim! Profesör, bu sorunun iyi tanımlanmadığını, çünkü Slater'ın durumunun önemini göstermek istediğini söyledi.

— Übel Yildmar

2

Daha önce belirtildiği gibi, kısıtlama, kendisini bir eşitlik kısıtlama. Sorununuz daha sonra basitleştirilmiştir

$$ \ max {x, y} (xy) \; \; \; d.y \;. \; x + y-2 = 0 $$

Kısıtlamayı yeniden düzenleyin ve tek değişkenli sınırsız sorunu elde etmek için $ y $ yerine koyun

$$ \ max_ {x} (2x-x ^ 2) $$

Bu hemen $ x = 1 $ çözümünü ve böylece $ y = 1 $ çözümünü sunar.

Karush-Kuhn-Tucker koşullarını asıl sorun üzerinde kullanmak, kendiniz için görmek için iyi bir uygulama olabilir. tamamlayıcı gevşeklik durum aynı zamanda tutmalı (ve "Slater'ın durumu", bunun formüllerinden biridir), ancak Occam'ın usturası, problemin yukarıdaki gibi çözülmesini gerektirir.

— Alecos Papadopoulos
kaynak